Autor Tema: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA  (Leído 9382 veces)

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Desconectado davidh

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MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« en: Junio 11, 2010, 23:32:09 »
Buenas noches, me gustaría que me dijesen donde está el error de este ejercicio.  Gracias
masa = m   Radio = R
I= \int x^{2}\,dm

primero calculo el momento de inercia de un disco de radio=r
dm=2 \pi\ r\frac{3m}{4 \cdot\pi\cdot R^{3}}

I= \int_{0}^{r}2 \pi r \cdot \frac{3 \cdot m}{4 \cdot\pi \cdot R^{3} \cdot } \cdot r^{2} \cdot \,dr

I= \frac{3 \cdot mr^{4}}{8 \cdot R^{3}}
Entiendo que esta integral calcula el momento de inercia de cualquier disco de la esfera simplemente sustituyendo "r" por el valor del radio del disco a calcular
Ahora con la ayuda de una integral sumo todos los discos de diferentes radios
I= \int_{-\left(R\right)}^{R} \frac{3 \cdot mr^{4}}{8 \cdot R^{3}} \,dr= \frac{3 \cdot mR^{2}}{20}

Saludos



Desconectado Teaius

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Re: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« Respuesta #1 en: Junio 12, 2010, 13:08:40 »
Por el título supongo que quieres calcular el momento de inercia de una esfera que supondré que es de densidad homogénea.

Lo que no termino de ver claro es el procedimiento que usas para calcularla. Supongo que se puede hacer con discos, pero en algún momento tendrás que meter el grosor del disco aunque sea en forma de diferencial dz, digo yo.

De todas formas puedes intentar el enfoque directo en coordenadas esféricas. Te ayudaría con ello pero no me va el latex, me sale todo el rato la misma fórmula.





Desconectado javiucm

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Re: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« Respuesta #2 en: Junio 12, 2010, 13:30:30 »
¿Tu esfera es maciza o hueca?...
no es lo mismo una densidad en volumen que en superficie...
Suponiendo esfera maciza veo varios errores... Integras en r, pero debes integrar en z (que da el espesor dz)...hasta el penúltimo paso lo tienes bien salvo que la variable que has puesto como r no es el radio en esféricas, sino en polares por lo que r2+z2=R2.. así I_C=\frac{3m}{4R^3}\int_{-R}^{R} r^2dz=\frac{3m}{4R^3}\int_{-R}^{R} (R^2-z^2)^2dz=\frac{2}{5}mR^2

« última modificación: Junio 12, 2010, 13:49:11 por javiucm »

Desconectado davidh

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Re: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« Respuesta #3 en: Junio 15, 2010, 11:05:07 »
Buenos dias.  Efectivamente se trata de una esfera maziza de masa uniforme.
Creo que me pongo cabezón pero. . .
I= \int_{-\left(R\right)}^{R} \int_{0}^{x} \frac{3 \cdot mx^{3}}{2 \cdot r^{3}} \,dx\,dx

las coordenadas polares sería el diametro de la esfera calculadas con la integral exterior\int_{-\left(R\right)}^{R}\,dx

Aunque el resultado es sabido erroneo, ya que no coincide con el resultado de los metodos ya demostrados y contrastados, me gustaría saber que falla en mi planteamiento. 

Desconectado javiucm

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Re: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« Respuesta #4 en: Junio 15, 2010, 12:06:40 »
El momento de inercia se define como I=\int r^2dm donde r es la distancia al eje de giro...en tu caso r no es el diámetro de la esfera, es el diámetro de un disco... al superponer discos infinitesimales variable  de integración (en la 2ª integral) no es el radio sino uno de los ejes....
1º has calculado el momento de inercia de un disco (i.e. plano) que cumple x^2+y^2=r^2...   
2º has integrado el momento de un disco...pero los discos se superponen a lo largo de un eje, que por comodidad llamamos z, y tu integras de nuevo en r como si r fuese la variable radial en esféricas (3D), pero r es el radio polar 2D, que cumple r^2=x^2+y^2=R^2-z^2 con R radio en 3D
básicamente es lo que viene aquí http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm
« última modificación: Junio 15, 2010, 12:51:26 por javiucm »

Desconectado davidh

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Re: MOMENTO DE INERCIA DE UNA ESFERA
« Respuesta #5 en: Junio 15, 2010, 20:35:37 »
¡Ahora lo veo!. 
La luz me ha llegado al comparar los ejercicios.  Concretamente buscando la diferencia entre
x^{4}
y
(r^{2}-z^{2} ) ^2

Según creo, con mi ejercicio estaba calculando el momento de inercia de dos conos equilateros unidos

Saludos y gracias por vuestro tiempo