Cálculos curiosos

Sabiendo que: (I), calcularemos las siguientes sumas:

i) ii)

1. Suma de los N-Primeros cuadrados.

Partiendo del producto notable: ; y aplicándolo sucesivamente se tiene:

Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene:

es decir:

Para demostrar (II) Se usa el método de Inducción Matemática.

, en efecto:

2. Suma de los n-primeros cubos.

Dado un cuadrado de lado 1 1 (fig. 1)

1

Prolongando cada lado de éste cuadrado en 2 unidades obtenemos el cuadrado C₂. (fig. 2)

C B

2

M E Característica de C₂. Area de C₂

1

0 1 D 2 A

C₂. Se divide en dos escuadras que son: C₁ y DABCME.

Area de DABCME = A(DABCME)

Prolongando los lados de C₂ 3 unidades se obtiene el cuadrado C₃. (fig.3)
E D
3
F I
2
G H
1
0 1 A 2 B 3 C

Se repite este proceso hasta obtener un cuadrado de lado: (C_n). (fig. 4)
D G’ C
E G
n-1
2
1
0 1 2 n–1 A n B

El área del cuadrado OBCD es igual a las sumas de las áreas de las escuadras del tipo ABCDEG.

Area De La Escuadra ABCDEG.

Evidentemente se sospechaba este resultado. La penúltima escuadra tiene área: . Y así sucesivamente se tiene:

Area del cuadrado OBCD (II)

Comparando (I) y (II), se tiene:

Resolver la ecuación:

Sabiendo que: ; (1)

La ecuación: , se escribe de la forma:

De aquí resulta:

De la condición: , se tiene: y reemplazando en (2) se tiene:

Por lo tanto se obtiene la primera raíz: (3)

La ecuación: ; también puede ser escrita de la siguiente manera:

como: y reemplazando en (4), se obtiene:

Las raíces de (1) son: .

Ej. :