Variedad diferenciable

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En Geometría y Topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en $R n$ . En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es una función diferenciable $f:M \rightarrow{}R$ , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores), El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Un poco de historia
3 Definición mediante aplicaciones coordenadas.
4 Relación con variedades topológicas
5 Definiciones alternativas
- 5.1 Definición mediante parametrizaciones.
6 Definiciones de variedad diferenciable en espacios euclídeos.
7 Referencias

[editar] Introducción

Una variedad diferenciable es, intuitivamente hablando, una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable:

Supone la generalización a cualquier número de dimensiones. En dimensión 1, una variedad es una curva. En dimensión 2, una superficie sería un ejemplo de variedad.
Supone otra generalización al intentar definir una variedad de modo intrínseco. Por ejemplo, una curva o una superficie suelen describirse embebidas en un espacio ambiente R³, pero podrían describirse sin hacer alusión a él. Es más, existen casos como variedades de dimensión 2 que no podrán verse embebidas en un espacio euclídeo de dimensión 3.

Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos". Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.

Las variedades diferenciables aparecen en diversos campos de la Física:

En Relatividad general, el espacio (de dimensión 3) y el tiempo forman una variedad de dimensión 4 llamada espacio-tiempo.
Muchas teorías modernas, como la Teoría de cuerdas, operan en una variedad de dimensión mayor que 4.
En mecánica clásica, para describir la situación de un sólido rígido en el espacio necesito 6 parámetros (3 que me describan la posición de su centro de masas y otros 3 que corresponden a los grados de libertad rotacional), Una situación concreta de un sólido se describirá como un punto en una variedad diferenciable de dimensión 6, que se denomina espacio de configuración del sólido rígido.

[editar] Un poco de historia

Riemann, en el siglo XIX, observó la importancia de definir la noción de variedad de un modo intrínseco, sin requerir que el espacio topológico subyacente estuviera embebido en un espacio afín. La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.

Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas. La diferencia es sutil, pero importante, aunque ambas maneras de definir las variedades diferenciables son, como se ha dicho, equivalentes.

Lo importante de ambas definiciones es que, localmente, una variedad es difeomorfa a un espacio euclídeo. Con más rigor, en ambas se pone de manifiesto que, para cada punto de la variedad, existe un homeomorfismo entre un entorno del punto y un abierto de un espacio euclídeo (el mismo espacio en toda la variedad), y que la composición de dichos homeomorfismo es diferenciable.

Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable de clase $r$ , variedad diferenciable y variedad suave. No todos los textos siguen la misma terminología. Lo que está claro es que cuando se habla de variedad diferenciable de clase $r$ se entiende cualquiera de las dos definiciones siguientes, mientras que cuando se habla de variedad suave se entiende que es una variedad diferenciable de clase $r$ para todos los números enteros $r\geq 0$ . La confusión está en el uso que se le dé al término variedad diferenciable, pues algunos autores consideran que es lo mismo que variedad suave y otros que es lo mismo que variedad diferenciable de clase $r$ . En cualquier caso todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable para evitar confusiones.

[editar] Definición mediante aplicaciones coordenadas.

Un espacio localmente euclídeo de dimensión $n \geq 0$ (donde $n$ es un número entero) es un espacio topológico $M$ con la propiedad de Hausdorff y en el que para cada $p \in M$ existe un entorno abierto conexo $U_p \subset M$ y un homeomorfismo $\varphi_p: U_p \longrightarrow V_p$ , siendo $V_p \subset \mathbb{R}^n$ (por supuesto, $V p$ será conexo y abierto por ser $\varphi_p$ un homeomorfismo). Un par $(U_p, \varphi_p)$ bajo estas condiciones se denomina sistema coordenado sobre $M$ para $p$ , y la aplicación $\varphi_p$ se denomina aplicación coordenada para $p$ . Además, si para cada $j \in \{1,...,n\} \subset \mathbb{Z}$ convenimos en representar por $r j$ a la función $r_j:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ que a cada $q = (q_1,...,q_n) \in \mathbb{R}^n$ le hace corresponder $r j (q) = q j$ (es decir, la $j$ -ésima coordenada de $q$ ), denominaremos a la aplicación $x_j = r_j \circ \varphi_p$ como la función coordenada para $p$ .

Dado un espacio localmente euclídeo $M$ y un número entero $r \geq 0$ , una estructura diferenciable $F$ de clase $r$ sobre $M$ es una familia $\{ (U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ de sistemas coordenados sobre $M$ de manera que se cumpla que:

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = M$ ,
dados cualesquiera dos $\alpha, \beta \in \Lambda$ ha de ocurrir que la aplicación $\varphi_{\alpha} \circ \varphi^{-1}_{\beta}$ es diferenciable de orden $r$ en $V β$ (i.e., $\varphi_{\alpha} \circ \varphi^{-1}_{\beta} \in C^r(V_{\beta})$ , donde $V_{\beta} = \varphi_{\beta}(U_{\beta})$ ),
$F$ es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos las familias de entornos coordenados sobre $M$ bajo las condiciones 1 y 2.

Se dice que el par $(M, F)$ formado por el espacio localmente euclídeo $M$ y la estructura diferenciable $F$ sobre $M$ es una variedad topológica de dimensión $n$ y clase $r$ si $M$ cumple el segundo axioma de numerabilidad. Cuando además $r > 0$ , entonces se dice que $(M, F)$ es una variedad diferenciable (de dimensión $n$ y clase $r$ ).

[editar] Relación con variedades topológicas

Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable $C k$ o si dicha estructura será única. En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura $C k$ con k>0, hay una única estructura C^∞ compatible con la anterior.

La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4:

Toda variedad topológica de dimensión 1, 2, o 3 tiene una única estructura diferenciable (salvo difeomorfismos).

La situación es diferente en dimensión superior:

Se conocen ejemplos de variedades topológicas que no admiten ninguna estructura diferenciable (Teorema de Donaldson),
y de otras que admiten múltiples estructuras difeomorfas (incluso una cantidad no numerable de ellas).

Algunos ejemplos:

Sólo hay una estructura diferenciable (salvo difeomorfismos) sobre $\mathbb{R}^{n}$ excepto cuando n = 4, caso que admite un número no numerable de estructuras diferenciables.
La siguiente tabla muestra el número de estructuras diferenciables (modulo homeomorfismos que conservan la orientación) sobre la n-esferas para dimensiones n < 19. Las esferas con estructuras diferenciables diferentes de la usual se conocen con el nombre de esferas exóticas.

Dimensión	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Estructuras	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16

[editar] Definiciones alternativas

[editar] Definición mediante parametrizaciones.

Sea $M$ un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial), $n \geq 0$ y $r \geq 0$ dos números enteros, una familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ en la que cada $U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n$ es un abierto y cada $x_{\lambda}: U_{\lambda} \longrightarrow M$ una aplicación inyectiva, de manera que se cumpla que:

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} x_{\lambda} (U_{\lambda}) = M$ ,
dados cualesquiera dos $\alpha, \beta \in \Lambda$ de forma que $x_{\alpha} (U_{\alpha}) \cap x_{\beta} (U_{\beta}) = W \neq \varnothing$ ha de ocurrir que $x^{-1}_{\alpha}(W)$ y $x^{-1}_{\beta}(W)$ son abiertos de $\mathbb{R}^n$ y la aplicación $x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta}$ es diferenciable de orden $r$ en $U α$ (i.e., $x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta} \in C^r(U_{\alpha})$ ).

bajo estas condiciones, cada par $(U λ, x λ)$ de manera que $p \in x_{\lambda} (U_{\lambda}) \subset M$ se denomina una carta local o sistema de coordenadas de $M$ en $p$ , $x λ$ se denomina parametrización de $M$ para $p$ , $x λ (U λ)$ se denomina entorno coordenado de $p$ , y la familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ es denominada una atlas sobre $M$ . Si un atlas $A$ es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre $M$ (por supuesto bajo las condiciones 1 y 2, ya que de otra manera no sería atlas) se dice que el atlas $A$ es una estructura diferenciable sobre $M$ .

El conjunto $\{ G \subset M: x^{-1}_{\lambda}(G) \in \tau(U_{\lambda}) , \lambda \in \Lambda \}$ (donde aquí $τ(U λ)$ representa la topología del conjunto $U λ$ ) no es otra cosa que la topología final en $M$ para la familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ . Cuando se toma una estructura diferenciable $A$ sobre $M$ y la topología final en $M$ para esa estructura diferenciable hace de $M$ un espacio topológico que cumple el segundo axioma de numerabilidad y la propiedad de Hausdorff, entonces se dice que el par $(M, A)$ formado por el conjunto $M$ y la estructura diferenciable $A$ sobre $M$ es una variedad topológica de dimensión $n$ y clase $r$ . Cuando además $r > 0$ , entonces se dice que $(M, A)$ es una variedad diferenciable (de dimensión $n$ y clase $r$ ).

[editar] Definiciones de variedad diferenciable en espacios euclídeos.

Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo. Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.

[editar] Representación implícita de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U \subset E$ de $x 0$ y una aplicación $\Phi: U \longrightarrow \mathbb{R}^{n-k}$ de manera que:

$Φ$ es de clase $r$ sobre $U$ (esto es, $\Phi \in C^r(U)$ ),
la matriz jacobiana de $Φ$ tiene rango $n - k$ (es decir, $r a n g [D Φ(x 0)] = n - k$ ),
$S \cap U = \{x \in U:\Phi (x)=0\}$ .

A la igualdad $Φ(x) = 0$ la llamaremos representación implícita local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ , o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por $Φ$ en $x 0$ .

Si existe un abierto $V \subset E$ y una aplicación $\Phi \in C^r(V)$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) de manera que $S=\{x \in V: \Phi(x) = 0, rang[D\Phi(x)] = n-k\} \neq \varnothing$ , a la igualdad $Φ(x) = 0$ se la denomina representación implícita global de la variedad, o se dice simplemente que la variedad viene dada implícitamente por $Φ$ . En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de $S$ el abierto $U = \{x \in V: rang[D\Phi(x)]= n-k\}$ y la aplicación $Φ$ .

[editar] Representación explícita de una variedad diferenciable.

una base $< u 1, u 2,..., u n >$ de $E$ ,
un abierto $V \subset E_1$ de $z_0 := x_0^1 u_1 + x_0^2 u_2 + ... + x_0^k u_k$ , donde se define el subespacio $E 1$ como el espacio generado por ${u 1,..., u k}$ ,
un abierto $W \subset E_2$ de $y_0 := x_0^{k+1} u_{k+1} + x_0^{k+2} u_{k+2} + ... + x_0^n u_n$ , donde se define el subespacio $E 2$ como el espacio generado por ${u k + 1,..., u n}$ ,
una aplicación $f: V \longrightarrow W$ de clase r sobre V (esto es, $f \in C^r(V)$ )de manera que $f (z 0) = y 0$ y $S \cap (V \times W) = \{ (z,f(z)) \in E_1 \times E_2 : z \in V\}$ .

La última condición equivale a decir que $S \cap (V \times W)$ es la gráfica $G r (f)$ de $f$ . A la igualdad $y = f(z), z \in V$ , o simplemente a la aplicación $f$ , se le denomina representación explícita local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ . Si existe una única aplicación $f$ tal que $S = G r (f)$ , entonces $f$ se denomina representación explícita global de la variedad.

[editar] Representación difeomórfica local de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U_0 \subset E$ de $x 0$ y una aplicación $\Psi: U_0 \longrightarrow \mathbb{R}^n$ de manera que:

$Ψ$ es un difeomorfismo de clase $r$ entre $U 0$ y su imagen (esto es, $\Psi \in C^r(U_0)$ es inyectiva),
$\Psi(S \cap U_0) = \Psi(U_0) \cap (\mathbb{R} \times \{0\}^{n-k})$ .

A la aplicación $Ψ(x) = 0$ la llamaremos representación difeomórfica local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ .

Hay que observar que, a consecuencia de ser $Ψ$ difeomorfismo local y $U 0$ abierto, $Ψ(U 0)$ es también un abierto de $\mathbb{R}^n$ .

[editar] Representación paramétrica de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U_1 \subset E$ de $x 0$ , un abierto no vacío $V \subset \mathbb{R}^k$ , un elemento $t_0 \in V$ y una aplicación $\varphi: V \longrightarrow E$ de manera que:

$\varphi(t_0)=x_0$ ,
la jacobiana $D\varphi(t_0)$ de $\varphi$ en $t 0$ es inyectiva,
$\varphi$ es un homeomorfismo de clase $r$ sobre $V$ (esto es, $\varphi \in C^r(V)$ es continua, abierta e inyectiva) entre $V$ y $S \cap U_1$ (con la topología relativa).

A la aplicación $\varphi$ la llamaremos representación paramétrica local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ .

[editar] Referencias

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
Roger Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
Spivak, Michael, Cálculo en variedades. Reverté (1988), ISBN 8429151427
Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 091409887X.

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