Teoría de Sturm-Liouville

Teoría de Sturm-Liouville

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En matemáticas, la teoría de Sturm-Liouville, llamada así por Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma:

-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y

Donde las funciones \ p(x), q(x), w(x) esta especificado en el inicio, y en el caso más simple son continuas en un intervalo finito cerrado \ [a, b]. La formulación del problema viene generalmente con valores específicos de condiciones de frontera de \ y, \frac{dy}{dx}, a, b. La función w(x) es llamada función de densidad o función de peso.

El valor de \ \lambda no se especifica en la ecuación; encontrar los valores de éstos lambda donde exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga condiciones de frontera se denomina problema de Sturm-Liouville (S-L).

Tales valores de lambda son llamados valores propios del problema de valores de frontera y están condicionadas por el conjunto de condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son funciones propias del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones \ p(x), q(x), w(x), éstas inducen operadores diferenciales hermitianos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.

Contenido

Teoría de Sturm-Liouville

Ésta teoría nos indica que en el caso de condiciones de frontera regulares de la forma:

(1) y(a)\cos \alpha - p(a)y^{\prime}(a)\sin \alpha = 0

(2) y(b)\cos \beta - p(b)y^{\prime}(b)\sin \beta = 0

donde α,β están en el intervalo \ [0, \pi [.

  • Los valores propios \ \lambda_n del problema de Sturm-Liouville, donde \ p(x) es diferenciable, las funciones \ p(x), q(x), w(x) son continuas y las funciones \ p(x), w(x) son positivas sobre las condiciones de frontera, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que \lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots < \lambda_n < \cdots \to \infty; .
  • A cada valor propio \ \lambda_n le corresponde una única función propia \ y_n(x) y \ y_n(x) tiene exactamente \ n-1 ceros en la frontera \ (a,b).
  • Las funciones propias son mutuamente ortogonales y satisfacen la relación de ortogonalidad

(3) \int_{a}^{b}y_n(x)y_m(x)w(x)\,dx = 0 , m \ne n,

donde \ w(x) es la función de peso.

  • Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortogonalidad

(4) \int_{a}^{b}y_n(x)y_m(x)w(x)\,dx = \delta_{mn},

donde \ \delta_{mn} es la delta de Kronecker.

  • Los valores propios del problema de Sturm-Liouville puede ser caracterizado por el cociente de Rayleigh

\lambda_n = \frac{-p(x) y_{n}(x) y' _{n}(x)|_a^b + \int_a^b [p y'_{n}(x)^2 + q y_{n}(x)^2]\,dx}{\int_a^b y_{n}(x)^2 w(x)\, dx}

.

Forma de Sturm-Liouville

La ecuación diferencial

- {d\over dx}\left[p(x){d\over dx}y(x)\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)

se dice que es de la forma de Sturm-Liouville o de la forma autoadjunta. Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser igualada en ambos lados de la ecuación al multiplicarle por un factor integrante apropiado.

Ejemplos

\ x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0

puede ser escrita en la forma de Sturm-Liouville así:

(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0.\,

(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

puede ser transformada facilmente en una forma de Sturm-Lioville, si \ D(1 - x^2) = -2x; así la ecuación de Legendre equivalente es:

[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

  • Otro ejemplo simple es una ecuación diferencial de la forma:

\ x^3y''-xy'+2y=0

Si dividimos para \ x^3 tenemos:

y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0

Multiplicando por un factor integrante:

e^{\int -{x / x^3}\,dx}=e^{\int -{1 / x^2}\, dx}=e^{1 / x},

nos da

e^{1 / x}y''-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0

que puede ponerse fácilmente en la forma de Sturm-Liouville así:

D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2}

que es equivalente a decir:

(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.

  • En general, dada una ecuación diferencial

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,

dividida para \ P(x), multiplicada por un factor integrante tenemos la forma de Sturm-Liouville:

e^{\int {Q(x) / P(x)}\,dx},

Operadores diferenciales Sturm-Liouville

El operador lineal:

(5) L u =-{d\over dx}\left[p(x){du\over dx}\right]+q(x)u

puede ser vista como la transformación de una función \ u en otra función \ Lu. Se puede estudiar éste operador lineal en el contexto del análisis funcional. Si ponemos \ w = 1 en la ecuación (1), podemos escribirla:

(6) L u = \lambda u \,.

Éste es precisamente un problema de valores propios; donde se trata de hallar valores propios λ y vectores propios \ u del operador \ L. Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera. Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo \ [0,1] y se pondra las condiciones de frontera \ u(0) = u(1) = 0.

La importancia de problemas de valores propios esta en el hecho que nos ayuda a resolver problemas asociados inhomogéneos:

L u = f \,

en el intervalo \ [0,1]

u = 0 \,

en 0 y 1.

Aquí \ f es la función en el espacio \ L^2. Si una solución \ u existe y es única, se la puede escribir de la forma:

u = A f \,

porque la transformación de \ f a \ u debe ser lineal. Ahora se observa que el hallar los vectores propios y los valores propios de \ A es esencialmente lo mismo que hallar los vectores y valores propios de \ L. Efectivamente, si \ u es un vector propio de \ L con valores propios λ debe existir un \ u que también es vector propio de \ A con valores propios \frac{1}{u}.


Operadores de Sturm-Liouville como operadores Hermíticos

Muchas de las propiedades de los operadores de Sturm-Liouville vienen del hecho que éstos son operadores hermitianos con respecto al producto interno:

\langle u, v \rangle = \int_a^b w(x)u(x)v(x)dx.

Y así los valores propios de los operadores de Sturm-Liouville son reales y que las funciones propias corresponden a diferentes valores propios son ortogonales.

Véase también

Referencias

  • A. Zettl, Sturm-Liouville Theory, American Mathematical Society, 2005. ISBN 0-8218-3905-5.
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003 (2nd edition). ISBN 1-58488-297-2
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