Raíz cuadrada

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Representación de "raíz cuadrada de x".

En matemáticas la raíz cuadrada de un número x es aquel número no negativo (positivo o cero) que multiplicado por sí mismo es x. La raíz cuadrada de se denota por $\sqrt x$ . Por ejemplo, $\sqrt{16} = 4$ , ya que $4^2 = 4\times 4 = 16$ y $\sqrt 2 = 1.4142135623730950488...$ . La función raíz cuadrada devuelve sólo la raíz cuadrada no negativa. Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada a éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos con el objetivo de proporcionar un marco matemático al reparto de los resultados. Las raíces cuadradas de objetos con excepción de números pueden también ser definidas.

Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales, que son los números no expresables como el cociente de dos números enteros. Por ejemplo $\sqrt 2$ no puede ser escrito exactamente como m/n, donde están números enteros n y m. No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con la longitud lateral de 1. Esto se ha sabido desde épocas antiguas, con el descubrimiento de que $\sqrt 2$ es irracional, atribuido a Hipaso, un discípulo de Pitágoras.

[editar] Propiedades

Gráfica de la función: $y = \sqrt x$

La función raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{x}$ es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto $\left[0,\infty\right)$ (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$
$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).
Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x 2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de $x 2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}$

y es válida para todos los números no negativos

x

y

que no sean ambos cero.

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x = 0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x = 0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$
para $\left\| x \right\| < 1$ .

[editar] Partes de las que se compone

Cuando resolvemos la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de esta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada, según esta imagen podemos ver que las partes de las que se compone son:

1- Radical, es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
2- Radicando, es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
3- Raíz, es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
4- Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada.
5- Residuo, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

NOTA: Los puntos 4 y 5 son exclusivos del método de resolución.

[editar] Formas de resolver la raíz cuadrada

Artículo principal: Formas de resolver la raíz cuadrada

Hoy en día existen muchos métodos para poder calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos significativos por el hecho de ser a mano y otros por el hecho de ser calculados por una máquina.

Muchas calculadoras de bolsillo, aunque no todas, tienen la llave de la raíz cuadrada entre sus botones, con lo que se permite la posibilidad de que sean calculadas. Las hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:

$\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$ o $\sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}$

Se explota la misma identidad al computar raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo.

El mejor método a mano para su cálculo es el que enseñan en la escuela, el método de resolución normal, aunque existen otros métodos como el algoritmo babilónico, que implica un algoritmo simple que da lugar a un número cada vez más cercano a la raíz cuadrada real al repetirse cada vez.

[editar] Aproximaciones enteras

Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por:

CUADRADO	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	15	16	17	...	24	25	26	27
RAÍZ	0	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5

Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:

El cero es repetido una vez.
El 1 tres veces.
El 2 cinco veces
El 3 siete veces.
El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:

$(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,$

[editar] La raíz cuadrada en los números complejos

Raíz cuadrada compleja.

Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.

Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, uno puede ver cómo las dos hojas caben juntas.

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una verdadera raíz cuadrada. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que $i^2 = -1\,\!$ . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos $(-i)^2= i^2 = -1\,\!$ , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

$\sqrt{-x} = i\sqrt{x}$

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que $i^2 = -1\,\!$ , por lo que entonces:

$\left(i\sqrt{x}\right)^2 = i^2\sqrt{x}^2=(-1)x=-x$

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

$\sqrt{\pm ix}=\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}$

Por los argumentos dados, $i$ no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo $z$ , no podemos definir $\sqrt z$ para ser la raíz cuadrada “positiva” de $Z$ .

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que $w^2 = Z\,\!$ . Por ejemplo, las raíces cuadradas de $i$ son:

$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

$- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

La definición general de $\sqrt z$ está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r e^iφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

$\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}$

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para $\sqrt{1+x}$ sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

donde $\left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2}$ (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando. Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley $\sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w$ es en general falsa. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que $-1 = 1\,\!$ :

$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$

donde la tercera igualdad no puede ser justificada.

Este problema puede presentarse como un uso erróneo de la raíz cuadrada principal de notación √ definido en el principio del artículo, o descuidar explicar el punto de rama o descuidando explicar la rama cortada en la definición de la raíz cuadrada compleja de una función. Con el concepto general (dos valores) de la raíz cuadrada, es de hecho verdad que una de las dos raíces cuadradas de 1 es -1.

No obstante, la ley puede ser solamente incorrecta por un factor -1 (es cierto salvo un factor –1), √(zw) = ±√(z)√(w), es cierto o para ± como + o como -. Nótese que √(c²) = ±c, por lo tanto √(a²b²) = ±ab y por lo tanto√(zw) = ±√(z)√(w),usando a = √(z) and b = √(w).

Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como $r e i θ$ , y ya que

$ae^{i\alpha}\times be^{i\beta}=\left(ab\right)e^{i\left(\alpha+\beta\right)}$

entonces es fácil ver que

$\sqrt{re^{i\theta}}=\sqrt{r}~e^{i\frac{\theta}{2}}$

[editar] Raíz cuadrada de matrices

Si $A$ es una matriz definida positiva u operador, entonces existe exactamente una matriz definida positiva u operador $B$ tal que $B 2 = A$ ; entonces definimos $\sqrt A = B$

Más generalmente, para cada matriz u operador normal $A$ existen operadores normales $B$ tales que $B 2 = A$ . En general, hay muchos de esos operadores $B$ para cada $A$ y entonces la función raíz cuadrada no puede ser definida satisfactoriamente para operadores normales. En cierta manera se puede decir que los operadores definidos positivos son similares a los números reales positivos, y los operadores normales son similares a los números complejos.

[editar] Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Una raíz cuadrada puede ser construida con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de $a$ y $b$ es $\sqrt{ab}$ , uno puede construir $\sqrt{a}$ simplemente tomando $b = 1$ .

La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página. No obstante, Descartes no afirmo originalidad y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

Otro método de construcción geométrica usa triángulos rectos e inducción: $\sqrt{1} = 1$ puede, desde luego, ser construido, y una vez que $\sqrt{x}$ ha sido construido, el triángulo recto con 1 y $\sqrt{x}$ como catetos, tiene una hipotenusa de $\sqrt{x+1}$ .

[editar] Pasos a seguir para la construcción geométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Para calcular la raíz cuadrada de un número mediante una construcción geométrica los pasos a seguir son los siguientes:

Trazamos un segmento $a\,\!$ de la longitud del número que queramos calcular su raíz cuadrada.
Extendemos ese segmento de medida $a\,\!$ en 1 en la unidad de medida que hayamos tomado el otro, de modo que tengamos el segmento $AB\,\!$ de medida $a + 1\,\!$ .
Trazamos un círculo que tenga como diámetro esta medida de $a + 1\,\!$ .
En el punto $O\,\!$ , que es donde empieza la extensión de medida 1 en el segmento, trazamos una línea perpendicular al segmento trazado y la línea obtenida que va del punto $O\,\!$ hasta tocar la circunferencia en el punto $H\,\!$ tiene como medida $OH = \sqrt a$ .

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles.

El algoritmo Guadarrama propone un método análogo, en el que en lugar de añadir uno, se utilizan dos factores cualesquiera del número cuya raíz se quiere calcular y se parte de un segmento cuya longitud representa la suma de dichos factores.

[editar] Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB

Antes de demostrar la igualdad primero hay que demostrar que los triángulos $AHO\,\!$ y $OHB\,\!$ son triángulos semejantes a partir de un sistema de ecuaciones pero tomando antes ciertas consideraciones:

El ángulo $H\,\!$ en su totalidad tiene 90º debido a la propiedad que dice: todo triángulo construido en un círculo ocupando uno de sus lados la diagonal íntegra, cuyos dos vértices sean los lados opuestos de la diagonal tomada y el otro un punto cualquiera de la circunferencia, ha de tener el ángulo que no toca la diagonal en cuestión siempre una abertura de 90º.
Ya que en los pasos seguidos pasa su construcción la línea $OH\,\!$ tenía que ser expresamente perpendicular a $AB\,\!$ entonces los dos ángulos formados con $O\,\!$ , tanto el derecho como el izquierdo que en conjunto suman a éste, tienen que tener cada uno 90º.
La suma de todos los lados de un triángulo da como resultado 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones:

$180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!$
$180 = 90 + A + H_i\,\!$

Donde $H_i\,\!$ es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo $H_d\,\!$ se puede representar como la resta de $90 - H_i\,\!$ ya que 90º es el valor de $H\,\!$ entero. Al resolver la primera ecuación vemos que:

$180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!$ ;

$H_i = B\,\!$ .

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:

$90 = A + H_i\,\!$ ;

$A = 90 - H_i\,\!$ .

Con lo que al ser $90 - H_i = H_d\,\!$ se saca que $A = H_d\,\!$ y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera $A H_i O_i\,\!$ ~ $H_d B O_d\,\!$ . Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:

$\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}$

Recordando que al construir geométricamente la raíz $AO\,\!$ siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos:

$\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH}$ ;

$OB = OH^2\,\!$ ;

$OH = \sqrt{OB}$ .

Quedando demostrada la construcción.

[editar] Historia

El Papiro de Ahmes es una copia del 1650 AC de un trabajo incluso anterior y muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.^[1]

En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 A.C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.^[2] Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

David Eugene Smith en History of Mathematics, dice, acerca de la situación existente en Europa: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). El dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".^[3]

El símbolo de la raíz cuadrada $(\sqrt{\ })$ fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación^[4] ^[5] apareciendo en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en Alemán vulgar. El signo no es más que una forma estirada de la letra r minúsculapara hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina "radix", que significa "raíz". También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Tiempo atrás, varios matemáticos ven la necesidad de inventar números que representen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.

[editar] Raíces cuadradas de los 20 primeros números enteros positivos

[editar] Como números decimales no periódicos

$\sqrt {1}$	$=\,$	1
$\sqrt {2}$	$\approx$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\sqrt {3}$	$\approx$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\sqrt {4}$	$=\,$	2
$\sqrt {5}$	$\approx$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\sqrt {6}$	$\approx$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\sqrt {7}$	$\approx$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\sqrt {8}$	$\approx$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\sqrt {9}$	$=\,$	3
$\sqrt {10}$	$\approx$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\sqrt {11}$	$\approx$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\sqrt {12}$	$\approx$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\sqrt {13}$	$\approx$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\sqrt {14}$	$\approx$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\sqrt {15}$	$\approx$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\sqrt {16}$	$=\,$	4
$\sqrt {17}$	$\approx$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\sqrt {18}$	$\approx$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\sqrt {19}$	$\approx$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\sqrt {20}$	$\approx$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

[editar] Como fracciones continuas periódicas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

$\sqrt {1}$	$=\,$	[1]
$\sqrt {2}$	$=\,$	[1; 2, 2,...]
$\sqrt {3}$	$=\,$	[1; 1, 2, 1, 2,...]
$\sqrt {4}$	$=\,$	[2]
$\sqrt {5}$	$=\,$	[2; 4, 4,...]
$\sqrt {6}$	$=\,$	[2; 2, 4, 2, 4,...]
$\sqrt {7}$	$=\,$	[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,...]
$\sqrt {8}$	$=\,$	[2; 1, 4, 1, 4,...]
$\sqrt {9}$	$=\,$	[3]
$\sqrt {10}$	$=\,$	[3; 6, 6,...]
$\sqrt {11}$	$=\,$	[3; 3, 6, 3, 6,...]
$\sqrt {12}$	$=\,$	[3; 2, 6, 2, 6,...]
$\sqrt {13}$	$=\,$	[3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6,...]
$\sqrt {14}$	$=\,$	[3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6,...]
$\sqrt {15}$	$=\,$	[3; 1, 6, 1, 6,...]
$\sqrt {16}$	$=\,$	[4]
$\sqrt {17}$	$=\,$	[4; 8, 8,...]
$\sqrt {18}$	$=\,$	[4; 4, 8, 4, 8,...]
$\sqrt {19}$	$=\,$	[4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8,...]
$\sqrt {20}$	$=\,$	[4; 2, 8, 2, 8,...]

La notación del corchete usada arriba es una clase de taquigrafía matemática para conservar el espacio. Escrito en una notación más tradicional la fracción continuada para la raíz cuadrada de 11 - [3; 3, 6, 3, 6,…] – se escribiría de la siguiente manera:

$\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,$

donde hay repeticiones de dos dígitos del patrón {3, 6} repetidamente y encima otra vez en los denominadores parciales.

[editar] Radicales jerarquizados cuadrados

Artículo principal: Radical jerarquizado

La identidad $2=\sqrt{2+2}$ implica que $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ , y por repeticiones sucesivas:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Por razones análogas se obtiene:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ;

o que

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ;

...

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.

[editar] Raíces cuadradas famosas

[editar] Raíz cuadrada de 2

Raíz cuadrada de 2.

Artículo principal: Raíz cuadrada de 2

Quizás la raíz cuadrada más conocida, también conocida como constante pitagórica, es denotada como $\sqrt 2$ , en la imagen podemos ver que geométricamente es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos 2 catetos tienen un valor de 1, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras:

$1^2+1^2 = x^2\,\!$

$x = \sqrt 2$

Probablemente la raíz cuadrada de 2 es el primer número irracional descubierto. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es de:

1.4142135623

[editar] Raíz cuadrada de 3

La diagonal de un cubo de aristas de medida 1 es igual a la raíz cuadrada de 3.

Artículo principal: Raíz cuadrada de 3

La raíz cuadrada de 3, también conocida como constante de Theodorus, se denota por $\sqrt 3$ , podemos ver que geométricamente su valor es el de la diagonal de un cubo cuyas aristas midan la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras (ver en artículo). También puede aparecer como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valgan 1 y la raíz cuadrada de 2. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es de:

1.7320508075

[editar] Raíz cuadrada de 5

Artículo principal: Raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5, denotada por $\sqrt 5$ , es famosa sobre todo por aparecer el la fórmula del número áureo, geométricamente es igual a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos tengan valores de 1 y 2 respectivamente, probándolo el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es de:

2.2360679774

[editar] Margen de error

Cuando medimos magnitudes física los valores que tenemos se han de utilizar como números reales, así cuando medimos la longitud de un objeto expresamos una longitud que parece exacta cuando en realidad sólo se acerca bastante a la realidad. Esta incertidumbre es causa de la existencia de errores, que pueden venir de dos fuentes: la precisión finita de los instrumentos y los fallos humanos de su obtención, este margen de error los encontramos también en las raíces cuadradas, donde por ejemplo, aunque podemos denotar la raíz cuadrada de dos como 1.4141, lo cierto es que lo correcto sería expresar su valor real como:

$\sqrt 2 = 1.41425 \pm 0.00005$

indicando que su valor real estaría comprendido entre los valores 1.4142 y 1.4143. Designando por m la medida exacta de la magnitud que deseamos podemos entonces expresar cualquier medida como $m \pm e_a$ , donde $e_a\,\!$ es el error absoluto o cota de error absoluto. El error absoluto se obtiene, sin tener en cuenta las medidas más alejadas del valor central, como la diferencia entre el valor que hemos hallado llamado m y la medida más alejada de las consideradas válidas. Podemos considerar el error relativo ( $e r$ ) en la raíz cuadrada como el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida

$e_r = \frac{e_a}{m}$

También es usual el expresar el error relativo en porcentajes multiplicando el valor obtenido anteriormente por 100

$%e_r = \frac{e_a}{m} \times 100$

Cuando comparamos varias medidas será más precisa aquella cuyo error relativo sea más bajo.

Por último, cuando obtenemos la raíz cuadrada de un número, la mayor de sus aproximaciones se llama exceso y la menor defecto, como se pueden ver en estos ejemplos:

$\sqrt{1216} = \begin{cases} 34, & \mbox{defecto} \\ 35, & \mbox{exceso} \end{cases}$

$\sqrt{4125} = \begin{cases} 64, & \mbox{defecto} \\ 65, & \mbox{exceso} \end{cases}$

[editar] Véase también

[editar] Notas

↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
↑ Joseph, G.G., cap. 8.
↑ Smith, D.E., pag. 148.
↑ Boyer, Carl Benjamin. Historia de la matemática, trad:Mariano Martínez Pérez, Alianza Editorial, 1992, Pág 360, ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.
↑ Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, 1997, Pág 1452, ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.

[editar] Referencias

Stewart, James (2006), Cálculo: Conceptos y contextos, México D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 e ISBN 978-970-686-543-4.
Joseph, George Gheverghese (2000), The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas de las matemáticas), Londres. ISBN 0-691-00659-8 e ISBN 978-0-691-00659-8.
Smith, David Eugene (1925), History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de las matemáticas, vol 2, asuntos especiales de las matemáticas elementales), Boston. ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7.
Anglin, W.S. (Diciembre de 1994), Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemáticas: Una historia y una filosofía concisas), New York. ISBN 0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3.

[editar] Enlaces externos

Programa java para aprender a hacer la raíz: [1]
Generador de hojas de ejercicios de raíces cuadradas: [2]
Programa java para hallar la raíz cuadrada de números enteros con muchísimas cifras decimales: [3]
Curso completo para aprender a calcular la raíz cuadrada a mano: [4]

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