Axiomas de Peano

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Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por Peano (1858-1932), matemático italiano, en el siglo XIX.

Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

1. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a.
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces a y b son números naturales iguales.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Los axiomas de Peano, tal como fueron escritos (en latín), fueron

1. 1 es un número.
2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.

El hecho de considerar el 0 como natural o no es tema de controversia. Normalmente se considera que lo es según si se necesita o no.