Operador norma

Norma vectorial

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[editar] Noción general de norma de un vector

Un vector es un elemento de un espacio vectorial para el que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Esto es lo que hace el operador norma: determina la longitud del vector bajo consideración.

Esto, que puede parecer un problema trivial, se complica con la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

Por tanto, basándonos en las propiedades realmente básicas de la determinación de la longitud, definimos matemáticamente qué condiciones debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrofísica y la Cosmología.

[editar] Definición de norma euclídea

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector \vec {AB}.

  • En dos dimensiones:
|| \vec{AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} siendo \vec{OA} = (a_1, a_2) y \vec{OB} = (b_1, b_2) y O el origen de coordenadas de dicho espacio.
  • Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:
|| \vec {AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2} siendo \vec {OA} = (a_1, a_2, a_3) y \vec {OB} = (b_1, b_2, b_3)
  • En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:
|| \vec{AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + ... + (b_n - a_n)^2} siendo \vec {OA} = (a_1, a_2, ..., a_n) y \vec {OB} = (b_1, b_2, ..., b_n) .

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal \mathcal{B} en las que un vector \mathbf{v}, dado por sus componentes en esta base \mathbf{v}_\mathcal{B} = (v_1,v_2,\cdots,v_n), entonces la norma de dicho vector viene dada por:

||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}


[editar] Definición matemática general

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos de la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. A partir de las propiedades de la norma euclídea definida más arriba se extraen algunas condiciones razonables que debe cumplir la "longitud de un vector" o norma. Estas condiciones básicas son:

  • Siempre es positiva e independiente del sentido (orientación) de la medición.
  • La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
  • La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado).

Esto genera la siguiente definición matemática:

Sea \mathbf{V} un espacio vectorial afín sobre un cuerpo \mathbb{K} y \vec x un vector del espacio. Se dice que ||.||:V\rightarrow \mathbb{K} es un operador que define la norma de \vec x, y escribimos ||\vec x||, si cumple:

  1. Para todo \vec x de \mathbf{V} su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si \vec x es el vector cero: 0 < ||\vec x|| si \vec x \neq \vec 0 y ||\vec x|| = 0 \Longleftrightarrow \vec x = \vec 0 .
  2. Para todo \vec x de \mathbf{V} y para todo k de \mathbb{K} se satisface que ||k \vec x || = |k| · || \vec x ||
  3. Para todos \vec x e \vec y de \mathbf{V} se cumple que || \vec {x} + \vec {y} || \leq || \vec {x} || + || \vec {y} || (desigualdad triangular).

Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.


[editar] Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

  • Para un vector \vec x = (x_1,x_2,...,x_n) se define la norma-p como:

|| \vec x ||_p = \sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p}

Así, para el caso p = 1 se obtiene || \vec x ||_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n| , y para el caso p = 2 se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

  • Otro operador norma sería

|| \vec x ||_\infty = max(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|)

Donde \vec x = (x_1,x_2,...,x_n) . El nombre de esta norma se debe al hecho de que: \lim_{p\to \infty} \, \, || \vec x ||_p = || \vec x ||_\infty.

||x|| = \sqrt{\langle x , x\rangle}

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

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