Número e

Número e

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La constante matemática e es el único número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural o también llamado logaritmo en base e.

El número e es uno de los números más importantes en la matemática,[1] además de las identidades de la multiplicación y la suma del 0 y el 1, la unidad imaginaria i y π.

El número e es llamado ocasionalmente número de Euler, debido al matemático suizo Leonhard Euler, o también constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. (e no debe ser confundido con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler)

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.

Su valor aproximado por truncamiento es e \approx 2,7182818284590452354 ...

Tabla de contenidos

[editar] Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred. El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (cuyo resultado, de hecho es e):

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

[editar] Definición

La definición más común es la siguiente: e \,\! es el único número real cuyo logaritmo natural es 1:

\ln e = 1 \quad

lo que significa :

\int_1^e \frac {dx} x = 1

[editar] Propiedades

[editar] Cálculo

La función exponencial f(x) = ex es importante, en parte debido a que es la única función no trivial que es su propia derivada, y por lo tanto su propia antiderivada también:

\frac{d}{dx}e^x=e^x

y

e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt
= \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_{0}^x e^t\,dt
\qquad= 1 + \int_{0}^x e^t\,dt

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

e = \lim_{x \to \infin} \left(1 + \frac {1} {x}\right)^{x}

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable h = 1 / x:

hay que decir que el valor e es una función matemática por lo tanto e es el valor siguiente de la exponencial
ln ((1 + h)^\frac {1} {h}) = \frac {ln(1+h)} {h} = \frac {\int_1^{1+h} \frac {dx} x} {h} =
= \frac {\int_0^h \frac {dx} {1+x}} {h} = \frac {\int_0^h \left(1+O(x)\right)dx } {h} = \frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

[editar] Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}

Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{5 + \frac{5}{6 + \frac{6}{7 + \frac{7}{8 + \cdots}}}}}}

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

[editar] Teoría numérica

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

[editar] Números complejos

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

e^{i\pi}+1 =0 .\,\!

de lo que se deduce que:

\log_e (-1) = i\pi .\,\!

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)

que es la fórmula de De Moivre.

[editar] Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por x \longmapsto e^x

  • La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
  • La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[3] que se aproxima a "e":

e = \lim_{n\to\infty} \quad {\rm }\frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - \frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} \quad {\rm para}\quad\left|n\right|>2.
  • Otro límite[4] con el que se obtiene el número e es:
e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}

donde pn es el enésimo Número primo y p_n \# es el primorial del enésimo primo

[editar] Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una secuencia. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo es el límite:

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

como también la serie:

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

dado para evaluar la serie de potencias superior para ex en x=1.

e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{n}{1}\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{1*2}\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{1*2*3}\frac{1}{n^3} + ... + \frac{1}{n^n}
= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})}{2!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!} + ... + \frac{1}{n^n}

Cuando n tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a \frac{1}{k!}, como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única, e también puede ser representado como:

e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}

Otras representaciones menos comunes también están disponibles. Por ejemplo, e puede ser representado como una fracción simple contínua infinita:

e=2+ \cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 2}+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 4}+\cfrac{1}{ \ddots } } } } } }

[editar] Dígitos conocidos

El número de digitos conocidos de e ha aumentado dramáticamente durante las últimas décadas. Esto es debido al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[5] [6]

Número de dígitos conocidos de e
Fecha Dígitos decimales Cálculo realizado por
1748 18[7] Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. M. Boorman
1946 808  ?
1949 2,010 John von Neumann (en la ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks y John W. Wrench
1994 10,000,000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
Mayo 1997 18,199,978 Patrick Demichel
Agosto 1997 20,000,000 Birger Seifert
Septiembre 1997 50,000,817 Patrick Demichel
Febrero 1999 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
Octubre 1999 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
Noviembre 21, 1999 1,250,000,000 Xavier Gourdon
Julio 10, 2000 2,147,483,648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
Julio 16, 2000 3,221,225,472 Colin Martin y Xavier Gourdon
Agosto 2, 2000 6,442,450,944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
Agosto 16, 2000 12,884,901,000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
Agosto 21, 2003 25,100,000,000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
Septiembre 18, 2003 50,100,000,000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon

[editar] Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.
  1. ↑ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.
  2. ↑ O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)
  3. ↑ Mathsoft "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
  4. ↑ Sebastián Martín Ruiz (1997)
  5. ↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  6. ↑ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
  7. ↑ New Scientist 21 de Julio de 2007 p.40


[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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