Mecánica cuántica relativista

Mecánica cuántica relativista

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La mecánica cuántica relativista es la teoría necesaria para entender el comportamiento de las partículas que alcanzan velocidades cercanas a la de la luz, régimen en el cual la ecuación de Schrödinger deja de ser efectiva.

[editar] Emergencia de la Mecánica cuántica relativista

La ecuación de Schrödinger para la partícula libre posee la forma:

\frac{\mathbf{p^2}}{2m}\psi(x)=E\psi(x)

donde el operador momentum y el operador energía están definidos por \mathbf{p}=-i\hbar\nabla y E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, dado que son los generadores de translación espacial y temporal respectivamente. El primer problema con esta ecuación es que es lineal en la derivada temporal, mientras que cuadrática en la derivada espacial, lo que claramente viola la invarianza de Lorentz (que establece primordialmente que las coordenadas espaciales y temporales son intercambiables). Siguiendo la receta establecida por Schrödinger, podemos introducir el Hamiltoniano de una partícula relativista, dado por E^2=c^2\mathbf{p^2}+m^2c^4, y obtener una ecuación para una partícula relativista

-\hbar^2\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=(-\hbar^2c^2\nabla^2+m^2c^4)\psi

tomando unidades naturales c=\hbar=1 y adoptando notación covariante μ=(0,1,2,3), podemos escribir la expresión anterior como

(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\psi=0

conocida como la ecuación de Klein Gordon.

Sin embargo al poco andar es simple ver que la ecuación de Klein Gordon, a pesar de poseer soluciones que cumplen con la relación de dispersión de una partícula relativista, presenta problemas serios en la interpretación probabilística de la función de onda ψ.

La corriente asociada a la ecuación de Klein Gordon es

J^\mu=\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*

Integrando la ecuación de continuidad \partial_\mu J^\mu=0, vemos que la componente cero de la cuadri-corriente J^0=\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^* es conservada. Para la solución de onda plana más simple, \psi(x,t)=Ae^{i(Et-\textbf{p}\cdot \textbf{x})}, la densidad J0 = 2E | A | 2 puede ser negativa, ya que E=\pm\sqrt{\mathbf{p^2}+m^2}. Esto muestra que la interpretación como densidad de probabilidad (siempre positiva) de J0 ya no tiene sentido. En un intento por remediar este problema, Paul Adrien Maurice Dirac descubrió en 1928 la ecuación de Dirac, genuinamente covariante relativista y que introdujo de manera natural el spin del electrón y las antipartículas (en particular el positron).

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