Límite matemático

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En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Tabla de contenidos

1 Límite de una sucesión
- 1.1 Definición
2 Límite de una función
- 2.1 Introducción
- 2.2 Indeterminaciones
3 Propiedades de los límites
4 Enlaces externos

[editar] Límite de una sucesión

Artículo principal: Límite de una sucesión

[editar] Definición

La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ va a $\infty$ . Decimos que la sucesión $a n$ tiende hasta su límite $a$ , o que converge o es convergente (a $a$ ), y escribimos

$\lim_{n\to\infty}a_n = a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Más precisamente:

$a_n \to a \Leftrightarrow$ $\forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon$

[editar] Límite de una función

Artículo principal: Límite de una función

[editar] Introducción

Informalmente, decimos que el límite de la función $f (x)$ es $L$ cuando $x$ tiende a $p$ , y escribimos

$\lim_{x\to p} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar $x \,$ suficientemente cerca de $p \,$ tal que $f(x) \,$ es tan que decimos que:

$f(x) \to L \Longleftrightarrow\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0 : 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.$

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

[editar] Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

[ $\infty$ refiere al límite a infinito y $0$ al límite a 0 (no al número 0)]

$\infty - \infty$

$\frac{\infty}{\infty}$

$\infty \cdot 0$

$\frac{0}{0}$

$\infty ^0$

$1^\infty$

$0^0 \,$

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes: $\lim_{t\rightarrow 0}t/t^2=\infty$ , $\lim_{t\rightarrow 0}t/t=1$ , $\lim_{t\rightarrow 0}t^2/t=0$ ,

[editar] Propiedades de los límites

$\lim_{x \to p} x = \, p \,$
$\lim_{x \to p} kf(x) =\, k\lim_{x \to p} f(x)\,$
$\lim_{x \to p} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x)\,$
$\lim_{x \to p} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x)\,$
$\lim_{x \to p} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)\,$
$\lim_{x \to p} (f(x)/g(x)) =\, {\lim_{x \to p} f(x) / \lim_{x \to p} g(x)}\,\ si\ g(x) \ne 0$
${\lim_{x \to 0} (1+x)^{(1/x)}} =\, e$
${\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x } =\, e$
${\lim_{x \to \infty} (x/2)(Cos(360/x))(Sen (360/x))} =\,{pi}$
${\lim_{x \to 0} (senx/x)} =\, 1$ (al igual que su recíproca)
${\lim_{x \to 0} (tanx/x)} =\, 1$ (al igual que su recíproca)
${\lim_{x \to 0} (senx/tanx)} =\, 1$ (al igual que su recíproca)
${\lim_{x \to p} (f(x) \cdot g(x))} =\, 0$ <=> f(x) acotada y g(x) infinitésimo
${\lim_{x \to 0} \frac {1-cos(x)}{x} } =\, 0$

[editar] Enlaces externos

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