Función zeta de Riemann

Función zeta de Riemann

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La función zeta de Riemann nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una función que tiene una importancia significativa en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos. También tiene aplicaciones en otras áreas tales como la física, la teoría de probabilidades y estadística aplicada.

[editar] Definición

Función zeta de Riemann s > 1 con s real
Función zeta de Riemann s > 1 con s real

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores reales mayores que 1, por la serie de Dirichlet:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

En la región {s ∈ C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.

Para los complejos con re(s)<1, la función se define de otra manera.

[editar] Relación con los números primos

La conexión entre esta función y los números primos ya había sido observada por Leonhard Euler:

\zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}},

un producto infinito sobre todos los números primos . Esta expresión, llamada el producto de Euler, converge para los números complejos Re(s) > 1. Esta fórmula es consecuencia de dos resultados simples pero fundamentales en Matemática: la fórmula para las series geométricas y el teorema fundamental de la aritmética.

[editar] Propiedades básicas

  • Algunos valores exactos

Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para ζ(2k) cuando k es un entero positivo:

\zeta(2k) = \frac{(-1)^{k-1} (2\pi)^{2k} B_{2k}}{2(2\,k)!}

donde B2k son los números de Bernoulli. De esta fórmula se obtiene que: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 etc. Para números impares no se conoce una solución general.

Ramanujan realizó un gran trabajo sobre esta función.

El contenido de esta página (o parte de ella) fue extraído de wikipedia y puede redistribuirse libremente bajo la licencia de documentación libre GNU