Función matemática

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Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

$f \colon X \to Y \,$

que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, $\forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.$
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si $(x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.$

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento $x\in X$ con un (y sólo un) $y\in Y$ se denota $f(x)=y\,$ , en lugar de $(x,y)\in f.$

Conceptos básicos

Para toda función $f \colon X \to Y \,$ podemos definir:

Dominio

El dominio de $f\,$ es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota ${\rm Dom}_f\,$ o bien $D_f\,$ y está definido por:

$D_f = \; \left\{x \in X \; : \; \exists y \in Y, \; f(x)=y\right\}$

Recorrido o codominio

El recorrido o conjunto de llegada de $f\,$ es el conjunto $Y,\,$ y se denota $Rec_f\,$ o bien $C_f.\,$

Rango

El rango de $f\,$ está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota $Ran_f\,$ o bien $R_f\,$ y está definida por:

$R_f = \left\{y \in Y \; \backslash \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Preimagen

Una preimagen de un $y\in Y$ es algún $x\in X$ tal que $f(x)=y\,.$

Note que $D_f = X\,$ , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. En efecto, puede darse que $\exists y \in Y$ tal que $\forall x \in X, \; f(x)\neq y.$

Ejemplos

La función definida por $f(x)=x+1\,$ , tiene como dominio e imagen todos los números reales $(\mathbb{R}).$

Función con Dominio X y Codominio Y

Para la función $g(x)=x^2\,$ , en cambio, si bien su dominio es $\mathbb{R}$ , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función $f \colon X \to Y \,$ , con

$Dom_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,$

$Rec_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,$

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el

1

y el

4

). Finalmente,

$Im_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.$

Esta función representada como relación, queda: $X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}$

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Como expresión matemática: ecuaciones de la forma $y = f (x)$ , que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Ejemplo: y=x+2.

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

   X| -2 -1  0  1  2  3
   Y|  0  1  2  3  4  5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Funciones según tipo de aplicación

Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones $f \colon X \to Y \,$ definidas entre ellos, en:

Función inyectiva

Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

$\forall x_1,x_2 \in X : f(x_1) = f(x_2) \rarr x_1 = x_2,$ o lo que es lo mismo,

$\forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \rarr f(x_1)\neq f(x_2)$

Función sobreyectiva

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen $Im_f=Y\,$ . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

$\forall y\in Y : \exists x\in X,\ f(x) = y$

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

$\forall y\in Y : \exists !\ x\in X,\ f(x) = y$

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

Composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta

Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x \,$ de $A \,$ el mismo $x \,$ de $A \,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}$

Dada cualquier función $g \colon A \to B \,$ , es claro que $e_B\circ f \colon A \to B \,$ es igual a $f\,$ y que $f\circ e_A \colon A \to B \,$ es también igual a $f\,$ , puesto que para todo $x \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

Función inversa

Artículo principal: función inversa

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se denomina función inversa de $f \;$ , $f^{-1} \colon B \to A \,$ a la función que cumple la siguiente condición:

$\; f^{-1} \circ f = e_A \;$

$\; f \circ f^{-1} = e_B \;$

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación $f^{-1} \;$ , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de $f^{-1} \;$ es que $f \;$ sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de $f \;$ y
$f \;$ es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas $f \colon \, A \to A$ , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa: $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
$\exists e_A \colon \, A \to A \,$ tal que $\forall f\colon A \to A$ tenemos $f\circ e_A = e_A \circ f = f$
$\forall f \colon \, A \to A \, \exists f^{-1} \colon \, A \to A \mid f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = e_A$

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .

Funciones en Rⁿ según su número de variables

Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, es completamente válido restringir $g(x)=x^2\,$ al dominio de los números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞).

Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:

Función escalar: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}.$
Campo escalar: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}.$
Función vectorial: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}^n.$
Campo vectorial: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m.$

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o entre conjuntos de números ( $\mathbb{N,Z,Q,R,C}$ ).

Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

$x>\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(-x) = -f(x))$

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f\left(x + \frac{T}{2}\right)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: convexidad

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Véase también

Enlaces externos

Commons

Commons alberga contenido multimedia sobre funciones.
FooPlot - Graficador de funciones matemáticas
En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [1]

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