Esfera

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$Una de las esferas más perfectas creadas por el ser humano, difiere de la esfera ideal en un espesor menor al tamaño de 40 átomos y refracta la imagen de Albert Einstein.$

Una de las esferas más perfectas creadas por el ser humano, difiere de la esfera ideal en un espesor menor al tamaño de 40 átomos y refracta la imagen de Albert Einstein.

Una esfera (del griego σφαῖρα, sphaîra 'pelota [para jugar]') es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Coloquialmente hablado también se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola.

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos de densidades no solubles), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

[editar] Ecuación

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimiensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en el origen es:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1\,$

Esta ecuación se obtiene considerando el punto M(x, y, z) de la esfera y diciendo que la norma del vector OM es igual a 1.

Más generalmente, las esfera de radio r, de centro Ω(a, b, c) tiene como ecuación:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\,$

La ecuación del plano tangente en el punto M(x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: En el caso de la esfera unitaria:

$x \cdot x' + y \cdot y' + z \cdot z' = 0\,$

y en el segundo ejemplo:

$(x - a) \cdot x' + (y - b) \cdot y' + (z - c) \cdot z' = 0\,$

[editar] Secciones

Sección de una esfera por un plano

La intersección de un plano y una esfera es, siempre, un círculo. La esfera es la única superficie del espacio que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador , gran círculo o círculo máximo.

Si la distancia d entre el plano y el centro es inferior al radio r de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el teorema de Pitágoras:

$r' = \sqrt{r^2 - d^2}$

Intersección de esferas

Por otra parte, dos esferas se intersectan si:

$d \le r + r'$

$r - r' \le d$

(son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan r, r y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

$\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} \quad \mbox{ con } \quad m = \frac {r+r'+d} 2$ el medio perímetro.

[editar] Localizarse sobre la esfera

Para localizar un punto sobre la esfera, las coordenadas cartesianas no son las mejores por varias razones: En primer lugar porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la esfera es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más natural que las coordenadas rectangulares.
Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos, se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ. Se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador (K en la figura) - llamados polos - para definir el signo del ángulo θ.

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con una rotación en el plano horizontal (plano del ecuador) y otra vertical (hacia un polo) el punto I puede sobreponerse a cualquier punto de la esfera.

En geometría es norma expresar estos ángulos en radianes (permite calcular longitudes de los arcos de círculos), mientras que en geografía se usan los grados: en este contexto, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma para I el punto del ecuador en el meridiano de Greenwich y para K el polo norte. Latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio este (como M en la figura).

Introducir el tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OK) (donde cualquier valor de φ vale).

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \mbox{sen }\phi\\ z & = & r \mbox{sen }\theta \end{matrix} \right. \qquad \mbox{con }- \frac {\pi} 2 < \theta \le \frac {\pi} 2 ,\ \ \mbox{ y } \ \ -\pi < \phi \le \pi$

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas:

$\left\{ \begin{matrix} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ne 0 \\ \theta = \mbox{ arcsen } \frac z r = \mbox{ arcsen } \frac z {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \phi = \mbox{ arcsen } \frac y {r \cos \theta} = 2 \mbox{ arcsen } \frac y {\sqrt{x^2+y^2} + x} \end{matrix} \right.$

[editar] Esferas en dimensiones superiores

Se generaliza sin problema la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

$x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1$

donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n dimensiones:

$x_1^2 + x_2^2 + x_3 ^2 + \cdots + x_n^2 = 1$

Y para una esfera de radio r, y centro (c₁, c₂, ..., c_n):

$(x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 + (x_3 - c_3)^2 + \cdots + (x_n - c_n)^2 = r^2$

El volumen de la esfera, es decir de la bola, contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n:

En efecto, si llamamos V_n el volumen de la esfera unitaria (r = 1) en dimensión n.

Entonces $V_{n+1} = I_{n+1} V_{n} \ \mbox{ con } \ I_n = 2\int_0^{\frac {\Pi} 2} \mbox{sen}^n \ t \ dt$ la integral de Wallis. Por una integración por partes, se obtiene la relación : $I_n = \frac {n-1} n I_{n-2}$ lo que permite calcular los I_n también por inducción, conociendo I₀ e I₁.

La función gamma Γ íntimamente relacionada con los factoriales permite expresar sin inducción el volumen de una esfera de radio r en dimensión n:

$V_n(r) = \frac {\pi^{\frac n 2} r^n} {\Gamma (\frac n 2 +1)}$

Aquí están los diez primeros valores de V_n(r) y las superficies correspondientes:

Dimensión	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Volumen	2r	πr²	4πr³ 3	π²r⁴ 2	8π²r⁵ 15	π³r⁶ 6	16π³r⁷ 105	π⁴r⁸ 24	32π⁴r⁹ 945	π⁵r¹⁰ 120
Superficie	2	2πr	4πr²	2π²r³	8π²r⁴ 3	π³r⁵	16π³r⁶ 15	π⁴r⁷ 3	32π⁴r⁸ 105	π⁵r⁹ 12

El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7.

Otra curiosidad es la posibilidad de representar una n-esfera o hiperesfera de n dimensiones como fibrado de otra hiperesfera de dimensión inferior. Esto sólo sucede en tres casos:

$S^3\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^2\;$ y fibra $S^1\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica que usa los números complejos.
$S^7\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^4\;$ y fibra $S^3\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica que usa los números cuaterniónicos.
$S^{15}\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^8\;$ y fibra $S^7\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica que usa los números octoniónicos.

Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.^[1]

[editar] Esferas en otras métricas

La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro a y de radio r es el conjunto S(a, r) = {xεE, d(a, x) = r }, y la bola correspondiente es B(a, r) = {xεE, d(a, x) ≤ r}.

Para no ser demasiado general, restrinjámonos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.

Para un vector u(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes:

||u||₁ = |x| + |y| + |z|. S(O,1) es un octaedro regular (figura a la izquierda).

||u||₂ = √(x² + y² + z²). Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.

||u||₃ = ³√(|x|³ + |y|³ + |z|³). S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha).

||u||_∞ = max(|x|,|y|,|z|). S(0,1) es un cubo.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ R. Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.

[editar] Enlaces externos

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[editar] Véase también

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