Ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ejemplos:

$\,y'= 2xy + 1$ es una ecuación diferencial ordinaria, donde $\,y=f(x)$ es la variable dependiente, $\,x$ la variable independiente e $y'=\frac{dy}{dx}$ es la derivada de $\,y$ con respecto a $\,x$ .
La expresión $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0$ es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita.

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

[editar] Orden de la ecuación

Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo:

$\,y'' + 8xy' - 13y = 1$ es una ecuación diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es de ese orden.

[editar] Grado de la ecuación

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma $\, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$ , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

$y' = y$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones $y = f(x) = k \cdot e^x$ , con k un número real cualquiera.
$y'' + y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f (x) = a cos(x) + b sin(x)$ , con a y b reales.
$y'' - y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f (x) = a cosh(x) + b sinh(x)$ , con a y b reales.

[editar] Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
Solución particular: un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

[editar] Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

$Mx''(t)+Cx'(t)+Kx(t)=P(t) \,$

donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },$

donde $t$ es el tiempo y $x$ es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

[editar] Resolución de algunas ecuaciones

[editar] Bibliografía

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica
José Ignacio Aranda Iriarte (2005). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.
José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

[editar] Véase también

Función diferenciable

[editar] Enlaces externos

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