Ecuaciones de Navier-Stokes

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Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

[editar] Conceptos previos

[editar] Derivada sustancial o material

Artículo principal: Derivada sustancial

Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana (ver aquí) la derivada ordinaria ${\partial\phi}/{\partial t}$ ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido $φ$ siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida).

La derivada sustancial se define como el operador:

$\frac{D}{Dt}(\star ) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial(\star )}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla (\star )$

donde $\mathbf{v}$ es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva.

[editar] Teorema del transporte de Reynolds

Artículo principal: Teorema del transporte de Reynolds

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una propiedad del fluido siguiendo a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido.

En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\phi \; d\Omega=\frac{d}{dt}\int_{V_c(t)}\phi \; d\Omega+\int_{S_c(t)}\phi\left(\mathbf{v-v_c}\right)\cdot\mathbf{n} \; d\sigma$

donde $φ$ es una propiedad extensiva definida por unidad de volumen, $V f$ es un volumen fluido, $V c$ es un volumen de control que coincide con $V f$ en el instante t, $S c$ la superficie de control ligada a dicho volumen, $\mathbf{v}$ la velocidad del fluido y $\mathbf{v_c}$ la velocidad de la superficie de control.

Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

[editar] Teorema de la divergencia

Artículo principal: teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), nos permite transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F\cdot n}\; dS$

[editar] Las ecuaciones de Navier-Stokes

$\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho F_i-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[ 2\mu\left(e_{ij}-\Delta\delta_{ij}/3\right)\right]$ .

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe:

$\frac{\partial\rho u_i}{\partial x_i}=0$

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, u_i (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, F_i las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

$e_{ij}=\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$

donde Δ = e_ii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

$\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)$

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

$\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho F_i-\frac{\partial P}{\partial x_i} +\mu \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_i\partial x_j}+ \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)$

[editar] Fluidos no viscosos

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque. Si además ρ puede ser considerada constante (como en un líquido):

$\rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial x} +\rho g_x$

$\rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial y} +\rho g_y$

$\rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial P \over \partial z} +\rho g_z$

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

${\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0$

[editar] Otras consideraciones

Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con 1 millón de dólares estadounidenses a quién pueda resolverlo.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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