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Ecuación
Ecuación
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Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios (p. ej.: 
). En particular, realizando transformaciones sobre los miembros de la ecuación (en ambos miembros las mismas transformaciones y en el mismo orden) puede conseguirse que uno de los miembros se reduzca a 0, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es una en la que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero (volviendo a nuestro ejemplo, la ecuación resultaría 
).
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
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[editar] Cómo resolver una ecuación de primer grado
Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.
Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla:
- 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396
Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el derecho.
1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un lado, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasar al otro término. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:
Si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
Si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9)
Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)
Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5)
Una vez que ya hemos pasado todos los términos en nuestra ecuación, ésta quedaría así:
- 9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como podrá verse, todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros han quedado a la derecha.
2- Simplificación:
Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.
Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92
De forma que nuestra ecuación pasaría a ser ésta:
- 95x = 525
3- Despejar:
Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.
Es decir: en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
- x = 525 / 95
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.
Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95=5.5263157894737)
por lo tanto
x=525/95
[editar] Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema)
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
- x + 3 = 2x − 2
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
- x + 3 = 2x − 2
Primero se pasan todas las x al primer término y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresión pasa al otro término haciendo la operación opuesta. Así obtenemos:
- x − 2x = − 2 − 3
Que, simplificado, resulta:
- − x = − 5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos términos de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos términos por -1 obtendremos:
- x = 5
El problema está resuelto.
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
[editar] Ecuaciones de segundo grado
[editar] Ecuaciones de la forma ax²+c=0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
- x2 − 16 = 0
Pasamos -16 al segundo término
- x2 = 16
Ahora pasamos el exponente al segundo término, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
[editar] Ecuaciones de la forma ax²+bx=0
Tengamos:
- 3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
- x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
- 3x + 9 = 0
- 3x = − 9
Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3
[editar] Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0
Tengamos por ejemplo la ecuación:
- x2 + 5x + 6 = 0
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos directamente la siguiente fórmula:
Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:
A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3
