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Ecuación diferencial ordinaria

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En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es un tipo de ecuación diferencial caracterizada porque la variable dependiente está en función de una variable independiente; este hecho las distingue de las Ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Tipos de EDOs y forma de resolución.
3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden.
4 Métodos de Resolución
5 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
- 5.1 Ecuación Lineal a coeficientes constantes.
6 Referencias
7 Bibliografía
8 Véase también
9 Enlaces externos

[editar] Introducción

Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

$\ F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0$

La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

$\ a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\ldots+a_1(t) y'+a_0(t) y = g(t)$

Donde los $a i$ representan funciones dependientes de t.

Una solución tipo de esta ecuación será una "familia" de curvas o funciones del tipo $x = x (t)$ que verifica la ecuación.

[editar] Tipos de EDOs y forma de resolución.

Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

[editar] Ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden.

Artículo principal: Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

$[L] = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{dy}} {{dt}} = f(t,y)} \\ {y(t_0 ) = y_0 } \\ \end{array} } \right.$

Donde $y (t 0) = y 0$ es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:^[1]

[editar] Ecuación de variables separables.

Son EDOs de la forma:

$\frac{dy}{dt} = f(t,y)$

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

$\ f(y)dy=f(t)dt$

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

$\int f(y)dy=\int f(t)dt$

De donde es posible obtener la solución

[editar] Ecuación Exacta.

Véase también: Ecuación diferencial exacta

Una ecuación de la forma:

$M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!$

Y si existe una función F tal que cumpla las condiciones:

$\frac{\partial F}{\partial Y}(x, y) = M$

$\frac{\partial F}{\partial X}(x, y) = N.$

Entonces se dice que la ecuación es exacta.

Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).

[editar] Ecuación Lineal

Véase también: Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

$y'+ P(x)y = Q(x)\,$

Y que tienen por solución:

$y(x) =e^{ - \int P(x) dx } \left( C + \int Q(x) e^{ \int P(x) dx } dx \right)$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=1.

[editar] Ecuación de Bernoulli.

Véase también: Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

$y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$

En la cual, si se hace la sustitución $z = y 1 - n$ , la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

[editar] Ecuación de Ricatti.

Véase también: Ecuación diferencial de Ricatti

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Ricatti cuando presenta la estructura:

$y'(x) + P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)=0\,$

Para resolverla, se debe hacer la sustitución $y=y_{p}+ \frac{1}{z}$ , donde $y p$ es una solución particular cualquiera de la ecuación.

[editar] Ecuación de Lagrange.

Véase también: Ecuación diferencial de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

$y=g(y')x + f(y')\,$

Resolviéndose con la sustitución $y' = p$ , obteniendose una solución general y una solución particular.

[editar] Ecuación de Clairaut.

Véase también: Ecuación diferencial de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut,tiene la forma:

$y= xy' + f(y')\,$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con $g (y') = y'$ , por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

[editar] Métodos de Resolución

[editar] Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

[editar] Ecuación Lineal a coeficientes constantes.

Estas ecuaciones presentan la siguiente estructura:

$\ a_ny^{(n)}+a_n-1 y^{(n-1)}+\ldots+a_1(t) y'+a_0 y = g(t)$

Donde los términos $a i$ representan constantes $\forall i \in \mathbb{N}$

[editar] Referencias

↑ José Ignacio Aranda Iriarte (2005). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Capítulo 1 (ecuaciones de primer orden)

[editar] Bibliografía

José Ignacio Aranda Iriarte (2005). Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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