Dodecaedro

Dodecaedro

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Dodecaedro regular
Dodecaedro
Grupo Sólidos platónicos
Número de caras 12
Polígonos que forman

las caras

 Pentágonos

regulares
Número de aristas 30
Número de vértices 20
Caras concurrentes

en cada vértice

 3
Vértices contenidos

en cada cara

 5
Grupo de simetría Icosaédrico (Ih)
Poliedro conjugado Icosaedro

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Tabla de contenidos

[editar] Dodecaedro regular

[editar] Cálculo de dimensiones fundamentales

  • Radio Externo: r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a \approx 1.401258538 \cdot a
  • Radio Interno: r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } \approx 1.113516364 \cdot a
Dodecaedro
Dodecaedro
Plantilla para armar un Dodecaedro
Plantilla para armar un Dodecaedro

Nemotecnia:

           CARNERO + VACAS = ASNOS + 2
              C    +   V   =   A   + 2

donde:

      C = número de caras
      V = número de vertices
      A = número de aristas

[editar] Volumen, área y desarrollo

Dado un Dodecaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

V=\frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right)\cdot a^3
(Aproximadamente 7,66·a³)

Y el área total de sus caras A (que es 12 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

A = 12 \cdot \frac{\sqrt{25+10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2 = 3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2
(Aproximadamente 20,65·a²)

[editar] Propiedades particulares

[editar] Simetría

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado Ih según la notación de Schöenflies.

(El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos.)

dado de un juego de rol con forma de dodecaedro
dado de un juego de rol con forma de dodecaedro

[editar] Aplicaciones y ejemplos

Se utilizan dados en forma de dodecaedro en los juegos de rol, en los que se suelen simbolizar como "d12".

Por manera de subdividir cada cara del dodecaedro en triángulos se puede construir domos geodésicos.

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