Derivación numérica

Derivación numérica

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Imagen:Derivative.png

Por definición la derivada de una función f(x) es:

f^\prime (x)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h)-f(x)} {h}

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

Diferencias hacia adelante:

f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h}

Diferencias hacia atrás:

f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0)-f(x_0-h)} {h}

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:

f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-f(x_0-h)} {2h}

f^{\prime \prime} (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-2 f(x_0)+f(x_0-h)} {h^2}

[editar] Método de los 5 pasos

Tenemos una función f(x) y se quiere hallar la derivada en el punto a

Para calcular la derivada por definición se utiliza este método que consiste en los 5 siguientes pasos:

1. Calcular f\left(a\right)

2. Calcular f\left(a+h\right)

3. Calcular Δf que es f(a + h) - f\left(a\right)

4. Calcular \frac {\Delta f}{h}

5. Calcular \lim_{h\rightarrow0} \frac {\Delta f}{h}

[editar] Ejemplo

Calcular la derivada de f(x) = x3 en el punto a

1. f\left(a\right) = a^3

2. f\left(a+h\right) = (a + h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3

3. \Delta f = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3 = 3a^2h + 3ah^2 + h^3 = h\left(3a^2 + 3ah + h^2\right)

  • Se ha sacado el factor común h para que el siguiente paso sea fácil.

4. \frac {\Delta f}{h} = \frac{h(3a^2 + 3ah + h^2)}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2

5. \lim_{h\rightarrow0} \frac {\Delta f}{h} = \lim_{h\rightarrow0} 3a^2 + 3ah + h^2 = 3a^2

[editar] Véase también

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