Cuantificador

Cuantificador

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En Teoría de conjuntos, un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguiente tabla:


Nombre Notación Se lee
cuantificador universal \forall x\ldots Para todo x...
cuantificador existencial \exists x\ldots Existe por lo menos un x...


Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma \forall x\ ,\ p \quad o \quad \exists y / q que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".


  • El cuantificador universal, representado por \forall. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe
\mathop{\forall}_{x\in A}\quad p(x). (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de

\{x\in A\mid\quad p(x)\}\ = A


  • El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto ~A cumple con una propiedad. Se escribe
\exist_{x\in A}\quad p(x). (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición

\{x\in A\mid\quad p(x)\}\neq\emptyset

Se definen:

\neg(\forall_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\exist_{x\in A}\quad\neg p(x)


\neg(\exist_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\forall_{x\in A}\quad\neg p(x)

[editar] Véase también

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