Autor Tema: Numeros primos: conjetura de los primos gemelos  (Leído 84 veces)

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Numeros primos: conjetura de los primos gemelos
« en: Diciembre 15, 2016, 13:40:39 »
La conjetura de losprimos gemelos sostiene que debe haber infinitos pares de primos separados por dos unidades. Como es un tema recurrente y que suele merecer la atenciónde muchas mentes dedicadas a su estudio, lo prorpongo como tema porque me es posible traer a este foro una demostración de esta conjeturaque que se acaba de publicar en otro foro, Aunque no soy un gran experto en matemáticas, creo que tiene visos de ser válida, en cuyo caso podría merecer la pena publicarla en este foro pues, de serlo ,  válida, seríamos casi los primeros en publicar algo así. Si no es válida, al menos podríamos empezar una discusións sobre un tema que ha traído de cabeza a cabezas notables, incluído Gauss. Como tengo que acompañar los datos de autor y fuente, espero la autorización del autor y moderador.
Saludos

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Re:Numeros primos: conjetura de los primos gemelos
« Respuesta #1 en: Diciembre 15, 2016, 19:47:34 »
Aunque resulta un poco largo, pego aquí el contenido de la demostración a que he hecho referencia en el post anterior. Tiene dos partes: en la primera establece los Números Primos en dos clases dentro de un grupo general que denomina Primos Gemelos, y sus propiedades y características. En la segunda parte, y apoyado en ellas y en el teorema de Dirichlet sobre infinitud de primos en progresiones a + b.n con a y b coprimos, que es clave,  demuestra la conjetura ( o eso supongo). 


C.C. Citar autor y fuente PMBERCEO OM    (diosoazar.com)

                                     Conjetura de los primos Gemelos

Parte I.-   Estructura y distribución de los Números Primos
Para no complicar demasiado el estudio con definiciones exhaustivas, llamaremos  aquí  Número Primo, al número natural ( entero positivo) solo divisible  exactamente por sí mismo y por la unidad, que no coincide exactamente con la definición del DRAE: “ Número entero * que solo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad”. Para este estudio , comenzamos eliminando del  conjunto [N] de los naturales, además del  uno,  el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos.  El conjunto resultante está formado por {5,7,11,13,17,19...}, números naturales  de dos clases,  6 j-1  y  6 j+1 , para todo j entero positivo ≥1 , que llamamos Primos Genéricos o PG, de expresión genérica  PG = 6.j±1.
[PG]={5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...}
[PG]=( 5=6x1-1,  7=6x1+1,  11=6x2-1,  13=6x2+1...............,31,35,37,41...).
 De ellos, unos son  verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos,  FP , cada uno  de una u otra clase, +1 y -1.  Se muestran listados iniciales de algunos de dichos conjuntos:
[PG]=[VP] + [FP]=(5,7,11,13,17,19,...) + (25,35,49,55,65,77...)          (1)
[PG]=[PG+1] + [PG-1]=(7,13,19,25,31...,) +(5,11,17,23,29,...)             (2)
[PG]={ PG+1 } + { PG-1 }=  { [VP+1] + [FP+1] }  +  { [VP-1 ] + [FP-1] }     (3)  Para mayor sencillez, expresamos unión de conjuntos con + en vez de ∪.         
A su vez,  [VP]=[VP+1 ]+[VP-1]    y   [FP]=[FP+1]+[FP-1]        (4)      [VP+1]=(7,13,19,31,37,43, ...)         [ VP-1]=(5.11.17,23,29,41)                                     [FP+1] =(25,49,55,85, ...)                   [FP-1]=(35,65,77,...)

Propiedades:

P1.- En el conjunto [PG]  de cada clase , el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, en la clase PG+1, el cuarto término será 6 x 4 +1=25 , el quinto será 6 x 5 +1 =31, etc . En PG-1, el 7º será 6 x 7 -1 =41, etc.

P2.- Para cada valor j existen dos PGs, separados por 2 unidades. Los  llamaremos Primos Genéricos Gemelos ( hay  infinitos,con j ). Asimismo, para un mismo valor j pueden existir dos VPs , que llamaremos Primos Gemelos, separados por 2 unidades. Ejemplos evidentes son 5 y 7, 11 y 13, 17,19... pero no  23,25, ni  35,37 etc . En la segunda parte, Conjetura, se intentará  demostrar que hay infinitos pares de Primos Gemelos.

P3.- [PG+1] es un conjunto cuyos elementos son los de una progresión expresable como  6j+1 , o su equivalente  7+6n ,  y el conjunto [PG-1] análogamenta, está formado por los términos de la progresión  6j-1 o su equivalente  5+6n.  Se consigue la equivalencia de  ambas expresiones  tomando diferente origen para las variables j, n:  j=(1,∞)  y  n(0,∞)             
( 6 j + 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 7 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 7,13,19..              ( 6 j – 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 5 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 5,11,17...      (5)

P4.- Los VPs y FPs de cada clase  pertenecen a los respectivos conjuntos PG de cada clase (3), y como tales son los términos de las citadas progresiones.

P5.- Los valores FP ( números compuestos, falsos primos ), se originan desde los productos y potencias enteras de valores VP, respetando las reglas del producto algebraico entre dichos factores,  6j+1 y  6j-1.

    Procedimiento de Generación de FPs separados en clases +1 y -1
Todos sabemos que el proceso seguido en la tabla de Eratóstenes no distingue entre  clase +1 y clase -1.  Hallemos los FPs separados en ambas clases, generando todos los FPs posibles separados por su clase,  obteniendo su distribución separada a lo largo de cada una de las dos clases de PGs.  Los generamos desde cada uno de los VPs , obteniendo todos sus múltiplos en cada clase. Para cada VP1 empezamos generando los dos menores FPs asociados a él  mediante dos productos binarios, uno consigo mismo , su cuadrado,  siempre de clase +1, y el otro con el siguiente VP2>VP1 ,  de la clase opuesta, siempre de clase -1..
Ejemplo. Desde  VP1=5, dos FPs inmediatos:  uno (FP1) de  clase +1, 5x5=25 y otro, (FP2),  de clase-1, 5x7=35, siendo 7 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que  un  FP producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y  si son de distinta clase, de tipo -1.
A partir de ese par de FPs iniciales, FP1 y FP2, de cada clase, hallaremos y señalaremos los demás FPs múltiplos del VP1,  mediante el :
Teorema de las series de FPs:  Se verifica que, para todo PG1=6 . j ± 1,  los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante  la serie  PGS=6 ( j + n . PG1) ±1,  para todo n natural , son Falsos Primos,  múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto:   PGS= 6(j + n . PG1)±1=6j ± 1+ 6n. PG1= PG1 + 6n . PG1=PG1 (1 + 6n), ( 0< n < ∞)  (6)
Por lo tanto, para todo VP1, que siempre es PG, y situándonos en los dos primeros FPs, ( FP1 y FP2) generados, uno en cada clase, bastará recorrer cada clase de PGs  con una cadencia igual al valor VP1 y , de acuerdo con (6), señalar como FP los valores afectados, hasta el infinito.
Así, para VP1=5 son, FP1=5x5=25 y FP2=35 en cada clase, y cada 5, señalamos:       Clase +1:  7  13  19  25* 31  37  43  49  55*  61  67  73  79  85*  91  97  103                Clase -1 :  5  11  17   23  29  35*  41  47  53  59  65* 71  77  83 89  95* 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7,  FP1=7 x 7 = 49, y FP2=7 x 11=77,                                       Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49* 55 61 67 73 79 85 91*97 103 109 115 121 127 133*  y serie-1:  5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77* 83 89 95 101 107 113 119* 125 131”
Iniciado el proceso, no es preciso  considerar valores ya señalados como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, el valor FP= 35  , aunque múltiplo de 7, ya está señalado como FP desde el VP0=5 < VP1 ,  factor primo de 35, y no es necesario ocuparse de ellos , que ya están  señalados desde secuencias anteriores. A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la de Eratóstenes, los valores remanentes, menores,  a la izquierda del VP1 de turno, son ya verdaderos primos hasta infinito.
Una curiosa consecuencia de lo anterior:  Dado un PGF final de cálculo, desde cada VP1 hasta PGF hay dos intervalos en los que señalar FPs: En clase +1, {VP1xVP1, PGF }, y en la clase -1  , {VP1xVP2, PGF}.   Como    (VP1 xVP1,PGF,+1 ) > { VP1xVP2,PGF,-1 ), es más probable, con la misma cadencia VP1, obtener más FPs en el intervalo mayor, clase +1, que en el menor, clase -1.  Esta ventaja de los FP+1, es nula o mínima en los primeros VP1, pequeños ,  y dependerá luego, en gran parte,  de  (VP2-VP1)  así como de la distribución de los propios  VPs de una y otra clase. Por eso la  evolución de esa diferencia será muy variable , con grandes oscilaciones aunque creciente en promedio con los VP1.Ver tabla.
Corolario: Como el total de PGs de ambas clases  es el mismo,  [PG+1]=[ PG-1] hasta el PGF final considerado , y  los términos VP y FP de cada clase son complementarios, la mayor aparición de FPs de una clase supone la disminución de los VPs correspondientes de la misma , de modo que, habiendo más FPs de clase +1, habrá menos términos VP+1 de esa misma clase, hasta el PGF final considerado, si PGF no es demasiado pequeño (≈<230), y por lo tanto:
    En general,  DIF = VP-1 – VP+1  ≥ 0,  y DIF , en promedio, creciente con n .
Esta propiedad es de comprobación inmediata y por medios informáticos: Ejemplo:
En n=93229, hay 31076 PGs,9001 VPs,(4488 VP+1, 4513 VP-1),11050FP+1y 11025FP-1,  datos obtenibles informáticamente. Ver DIF= VP-1- VP+1= 25.  Sigue tabla
Hasta n        VPs               VPs-1             VP+1            DIF               
    101            24                  13                    11                1                 
    499           93                   48                     45               3                 
1001            166                   86                   80                6                   
41521        4341               2176               2165             11                 
99991        9590                4806              4784              22                 
200227    18001               9006              8995              11
800599   64001              32054            31947           107
1062557  83001             41535           41466             69

                                *************************









               PARTE II.-     CONJETURA de los Primos Gemelos
Existen infinitos pares de primos gemelos. Demostración.
Hemos visto en P3, (5), que las dos clases de  Primos Genéricos, PG+1 y PG-1, por su propia definición, son  sendas progresiones aritméticas de primeros términos  5 y 7 y una misma diferencia  d=6 , que podemos expresar como,  PG+1 = 7 + 6 x n    y    PG-1 = 5 + 6 x n  ,   para  ( 0 ≤ n ≤ ∞) ,  con diferencia= 6  y  constantes coprimas entre sí , ( 7 ,6 ) y ( 5, 6). Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones  de este tipo, (a +b.n ),  en cada una de ellas hay infinitos números primos. Esto demuestra que hay infinitos VPs de cada clase, VP+1 en PG+1 y VP-1 en PG-1.
La diferencia entre dos VPs que tengan el mismo  valor n será constante e igual a 2. Luego dos VPs de la misma n, serán primos gemelos. Ejemplo    (7 + 6 n` ) – ( 5 +6 n` ) = 2.  Por lo tanto:
A.- Se cumple la condición  necesaria para la existencia de infinitos pares de primos gemelos, pues hay infinitos números primos disponibles de ambas clases.
B.- Aún podríamos plantearnos una dificultad para la formación de pares de primos gemelos. Que a partir de cierto valor VPZ de una u otra clase, se cumpla esta regularidad:  Para todo VP>VPZ , su gemelo es un valor FP.
Pero sabemos que :  La primalidad ( ser VP ó ser FP ) de cualquier PG depende de los VPs<PG  ( cuyos productos pueden señalarlo como FP) , y por lo tanto es esencialmente variable a lo largo del conjunto [PG], a causa de la aparición de nuevos VPs de ambas clases ,  lo que resulta  incompatible con la regularidad  citada.
Reforzando, si fuera preciso, lo anterior, y según vimos en P5 , la generación separada de FPs desde un VP1, en cada clase, es independiente de la generacion en la otra clase ,  pues cada serie  se inicia desde diferentes valores con una cadencia VP1, prima. Las sucesivas generaciones de FPs desde nuevos VPs siguen caminos análogos, siempre desde distintos  orígenes y nuevas y distintas cadencias  primas  .  No existiendo, por tanto, una relación estable entre los procesos de ambas clases, la supuesta regularidad carece de fundamentación.
Por lo tanto, : Existen infinitos pares de primos gemelos.
 
CC.  PMBERCEO OM  (diosoazar.com)  citar autor y fuente

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Re:Numeros primos: conjetura de los primos gemelos
« Respuesta #2 en: Enero 10, 2017, 20:09:24 »

Del mismo autor y fuente, copio Resumen sobre demostración conjetura primos gemelos.
Sigue cita:

Para quienes desean estudiar o analizar la demostración de la conjetura de los primos gemelos, que puede parecer un tanto larga, presento en unas pocas líneas el resumen del camino seguido, a fin de que pueda ser mejor comprendida y, en su caso, discutida.

                             ABSTRACT. RESUMEN de la demostración
Se empieza ordenando los números candidatos a primos ( los Primos Genéricos, PG ) en dos clases : los 6j+1 y 6j-1 para todo j entero. ( PG+1 y PG-1)
Se identifican ambas clases con sendas progresiones aritméticas de diferencia 6 y constantes coprimas 5+6 n  y  7+6 n .
A continuación se examina el modo en que, en ambas clases, se producen los falsos primos o números compuestos ( FP). Los números restantes serán los verdaderos Primos ( VP)
Se aplica el Teorema de Dirichlet sobre ese tipo de progresiones, que contienen infinitos primos.
Se demuestra así que hay infinitos primos de cada clase y que pueden formar pares.
Finalmente, se deducen las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de infinitos pares gemelos.

citar autor yorigen
PMBERCEO OM  (diosoazar) CC