Autor Tema: Los métodos de factorización de Lehane para resolver ecuaciones de séptimo grado (Leído 421 veces)

Lehane · « **en:** Enero 04, 2013, 21:27:32 »

Factorización Leins Vangh para resolver ecuaciones de séptimo grado del tipo $x^7 + ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0$

Este método sirve para ecuaciones de séptimo grado cuyas siete raíces sean números enteros.

Se debe buscar siete números cuyo producto sea el término independiente del polinomio y esos mismos números deben ser la suma algebraica del segundo término (14), para ello se factoriza el término independiente en factores primos.

$2160 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$

Los siete números son 3, -3, 5, 3, 2, 4 y -2

$3 \times -3 \times 5 \times 3 \times 2 \times 4 \times -2 = 2160$

$3 + (-3) + 5 + 3 + 2 + 4 + (-2) = 12$

El tercer, cuarto, quinto, sexto y séptimo término deben ser igual a la siguiente series de operaciones donde a, b, c, d, e, f, g son los siete números cuyo producto es el término independiente y cuya suma algebraica es el segundo término (3, -3, 5, 3, 2, 4, -2)

Antes debo aclarar que no importa el orden de los números, el resultado siempre es el mismo, lo cual es una propiedad interesante de estas expresiones matemáticas.

Operando se puede comprobar que los números cumplen con las igualdades.

Se abren siete paréntesis de la siguiente forma:

$(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) (x + e) (x + f) (x + g)$

Se insertan los siete números a, b, c, d, e, f, g:

$(x + 3) (x - 3) (x + 5) (x + 3) (x + 2) (x + 4) (x - 2)$

Y se iguala a cero cada factor.

Las raíces de la ecuación $x^7 + 12x^6 + 34x^5 - 96x^4 - 575x^3 - 348x^2 + 1692x + 2160 = 0$ son: $-3, 3, -5, -3, -2, -4, 2$

Ecuaciones de séptimo grado con raíces enteras

$x^7 + 21x^6 + 185x^5 + 887x^4 + 2502x^3 + 4156x^2 + 3768x + 1440 = 0$
$x^7 + 4x^6 - 44x^5 - 122x^4 + 439x^3 + 1054x^2 - 1116x - 2520 = 0$
$x^7 + 11x^6 + 23x^5 - 171x^4 - 1088x^3 - 2552x^2 - 2800x - 1200 = 0$
$x^7 + 24x^6 + 238x^5 + 1272x^4 + 3973x^3 + 7272x^2 + 7236x + 3024 = 0$
$x^7 - 22x^6 + 174x^5 - 584x^4 + 485x^3 + 1878x^2 - 4788x + 3240 = 0$

Lehane · « **Respuesta #1 en:** Enero 04, 2013, 21:38:48 »

Factorización VFI Summers para resolver ecuaciones de séptimo grado de la forma $ax^7 + bx^6 + cx^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h = 0$

Este método sirve para polinomios de séptimo grado que son originados al multiplicar siete binomios de la forma $(ax + b)$ , lo que hace el algoritmo es convertir el polinomio de séptimo grado en esos siete factores originales.

$32^7 + 80x^6 - 80x^5 - 216x^4 + 2x^3 + 109x^2 + 4x - 15 = 0$

Se debe elevar el primer término a al sexta potencia y multiplicarlos por el término independiente.

El polinomio quedaría de la siguiente forma:

$32x^7 + 80x^6 - 80x^5 - 216x^4 + 2x^3 + 109x^2 + 4x - 16106127360$

Se debe descomponer el término independiente.

Los factores de 16106127360 son: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5, con estos números se buscan siete números cuya suma algebraica sea el segundo término del polinomio.

Esos números son 32, 32, 80, -16, -48, -16, 16.

En la siguiente parte estos siete números son a, b, c, d, e, f, g.

El tercer, cuarto, quinto, sexto y séptimo término deben ser igual a las siguientes series de operaciones.

Antes de continuar quiero aclarar que no importa el orden de los números, el resultado siempre es el mismo, lo cual es una propiedad interesante de estas expresiones matemáticas.

Los números cumplen con las igualdades.

Se debe abrir siete paréntesis de la forma $(ax + b)$ , donde ax es el primer término del polinomio:

$(32x + a)(32x + b)(32x + c)(32x + d)(32x + e)(32x + f)(32x + g)$

Se insertan los siete números donde corresponde:

$(32x + 32)(32x + 32)(32x + 80)(32x - 16)(32x - 48)(32x - 16)(32x + 16)$

Como se multiplicó el polinomio por $32x^6 = 1073741824$ ahora se debe dividir por esa cantidad para lo cual se descompone el número en factores primos.

Los números son: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.

Ahora se buscan siete números que dividan a los siete binomios.

$(32x + 32)(32x + 32)(32x + 80)(32x - 16)(32x - 48)(32x + 16)(32x - 16)$

Esos números son: 32, 32, 16, 16, 16, 16.

$\frac{32x + 32}{32} \frac{32x + 32}{32} \frac{32x + 80}{16} \frac{32x - 16}{16} \frac{32x - 48}{16} \frac{32x + 16}{16} \frac{32x - 16}{16}$

$(x + 1)(x + 1)(2x + 5)(2x - 1)(2x - 3)(2x + 1)(2x - 1)$

Para comprobar que esta etapa es correcta se debe multiplicar los siete monomios ax cuyo resultado tiene que ser el primer término del polinomio original y los siete monomios b de los binomios (ax + b) que debe dar como resultado el término independiente.

Esos son los binomios originales que multiplicados dan como resultado el polinomio $32^7 + 80x^6 - 80x^5 - 216x^4 + 2x^3 + 109x^2 + 4x - 15$

Para terminar se iguala cero cada factor:

Las raíces de la ecuación $32^7 + 80x^6 - 80x^5 - 216x^4 + 2x^3 + 109x^2 + 4x - 15 = 0$ son $-1, -1, -\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Ecuaciones de séptimo grado con raíces racionales

$32x^7 + 16x^6 - 80x^5 - 56x^4 + 34x^3 + 25x^2 - 4x - 3 = 0$
$32x^7 + 112x^6 - 80x^5 - 264x^4 + 98x^3 + 143x^2 - 20x - 21 = 0$
$48x^7 + 112x^6 - 64x^5 - 188x^4 + 41x^3 + 64x^2 - 7x - 6 = 0$
$40x^7 + 36x^6 - 106x^5 - 113x^4 + 48x^3 + 62x^2 - 6x - 9 = 0$
$48x^7 - 64x^6 - 80x^5 + 92x^4 + 37x^3 - 31x^2 - 5x + 3 = 0$

Lehane · « **Respuesta #2 en:** Enero 04, 2013, 21:40:22 »

Programas

Estos programas sirven para las operaciones para el tercer, cuarto, quinto, sexto y séptimo término, tanto para factorización Leins Vangh, como para factorización VFI Summers.

Solo tienen que insertar los siete números y el programa hará lo suyo.

http://www.mediafire.com/?99ddq5i6sdgo9vg

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