Autor Tema: duda integral  (Leído 1054 veces)

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duda integral
« en: Diciembre 28, 2012, 10:59:03 »
Buenas tardes, tengo un problema con una integral y es que en 3 dimensiones tengo esto :

\int{d\Omega d^{3} p}

pero como podría pasar esto mismo a 2D Y 1D??


Por otra parte...

\int{d^{3} p} en d dimensiones es \int{d\Omega  p^{d-1} dp}??

Gracias!!

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Re:duda integral
« Respuesta #1 en: Enero 06, 2013, 14:13:09 »
estas integrales están relacionadas con la función gamma de Euler y salen mucho en física estadística.
Si restringes el dominio de integración a la hiperesfera de radio 1 tienes
V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} donde n es el número de dimensiones y \Gamma la función gamma de Euler.

Por cierto...tienes que dar el recinto de integración...sino difícil.
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Desconectado javiucm

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Re:duda integral
« Respuesta #2 en: Enero 06, 2013, 19:00:12 »
Por cierto, en 1D no tiene sentido. Voy a hacer algunos comentarios que quizás no queden claro en el anterior.

Lo que pones como d^n p puede ser el elemento radial en n dimensiones (la n sólo se pone para indicar el número de dimensiones del espacio y puede quitarse) o bien el elemento de volumen dx dy dz... típico.
Al poner el elemento de ángulo sólido hay que corregirlo.

Es decir
Buenas tardes, tengo un problema con una integral y es que en 3 dimensiones tengo esto :

\int{d\Omega d^{3} p}
esta expresión quiere decir (en 3d)
\iiint dp\,d\phi\,d\cos \theta\,p^2
ya que lo que has puesto no tiene mucho sentido pues d^3p=dp_xdp_ydp_z (así debe leerse) y sobraría la parte del ángulo sólido.

\int{d^{3} p}
esta integral es la que acabo de poner en coordenadas esféricas.

En 2D se usan polares planas \iint dx\,dy\to\iint d\theta\,dr\,r
En 1D no tiene sentido...

En n dimensiones es lo que puse antes \int_{\|\vec{p}\|=1}d\Omega_n\,dp\,p^{n-1}=V_n volumen de la hiperesfera (de radio 1) de antes, donde d\Omega_1=1, d\Omega_2=d\theta, d\Omega_3=d\cos\thet\,d\phi y en 4 dimensiones (3-esfera) d\Omega_4=d\cos\theta\,d\psi\,d\phi\,\sin^2\psi

Recuerda los cambios de variable en integrales (i.e. el jacobiano de la transformación)...

Por cierto, no te olvides de comentar bien lo que quieres decir, ya que puede parecer que Omega es una variable más y no el elemento de ángulo sólido "generalizado"...Todos los foreros no tienen porqué estar familiarizados con las integrales de la física estadística...
« última modificación: Enero 06, 2013, 19:08:52 por javiucm »
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