Autor Tema: Los métodos de factorización de Lehane para resolver ecuaciones de sexto grado (Leído 1173 veces)

Lehane · « **en:** Julio 27, 2012, 23:29:14 »

Método de factorización de Leins Vangh para resolver ecuaciones de sexto grado de la forma $x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$

Este método sirve para ecuaciones de sexto grado con raíces enteras.

$x^6 + 5x^5 - 17x^4 - 97x^3 - 8x^2 + 308^x + 240 = 0$

Se debe buscar seis números (a, b, c, d, e, f) cuyo producto sea el término independiente del polinomio y cuya suma algebraica sea el segundo término.

El tercer, cuarto, quinto y sexto término del polinomio deben ser iguales a las siguientes series de operaciones en las que deben intervenir los seis números (a, b, c, d, e, f)

El orden de los números (a, b, c, d, e, f) no es importante ya que siempre dará el mismo resultado.

El tercer término debe estar elevado a la cuarta potencia, el cuarto a la tercera potencia, el quinto a la segunda potencia y el sexto a la primera potencia.

Voy a colocar una imagen porque a veces da error con el LaTex.

Los números buscados son 5, 3, 2, 1, -2 y -4.

Al efectuar las operaciones para el tercer, cuarto, quinto y sexto término se da la igualdad con los términos del polinomio.

Se debe abrir seis paréntesis de la forma $(x + a)$

Se debe insertar los números (a, b, c, d, e, f) en los seis paréntesis.

$(x + 5) (x + 3) (x + 2) (x + 1) (x - 2) (x - 4)$

Se debe igualar a cero cada factor.

$x + 5 = 0$
$x = -5$

$x + 3 = 0$
$x = -3$

$x + 2 = 0$
$x = -2$

$x + 1 = 0$
$x = -1$

$x - 2 = 0$
$x = 2$

$x - 4 = 0$
$x = 4$

Las raíces de la ecuación $x^6 + 5x^5 - 17x^4 - 97x^3 - 8x^2 + 308^x + 240 = 0$ son -5, -3, -2, -1, 2, 4.

Ecuaciones de sexto grado con raíces enteras

$x^6 + 5x^5 + 4x^4 - 10x^3 - 11x^2 + 5x + 6 = 0$
$x^6 + 3x^5 - 13x^4 - 55x^3 - 36x^2 + 52x + 48 = 0$
$x^6 + 11x^5 + 23x^4 - 119x^3 - 600x^2 - 900x - 432 = 0$
$x^6 + 12x^5 + 28x^4 - 138x^3 - 677x^2 - 882x - 360 = 0$
$x^6 + 26x^5 + 270x^4 + 1420x^3 + 3929x^2 + 5274x + 2520 = 0$
$x^6 + 19x^5 + 133x^4 + 445x^3 + 754x^2 + 616x + 192 = 0$
$x^6 + 21x^5 + 164x^4 + 598x^3 + 1077x^2 + 917x + 294 = 0$
$x^6 + 6x^5 - 26x^4 - 132x^3 + 97x^2 + 702x + 504 = 0$
$x^6 - 50x^4 + 72x^3 + 481x^2 - 648x - 1008 = 0$
$x^6 + 3x^5 - 47x^4 - 3x^3 + 406x^2 - 216x - 576 = 0$

Ecuaciones curiosas

Se deben buscar seis números cuyo producto sea el término independiente, su suma algebraica debe ser 0, el resultado de las operaciones para el cuarto y sexto término debe ser 0, el tercer y quinto término se verifican como en el ejemplo.

$x^6 - 38x^4 + 361x^2 - 900 = 0$
$x^6 - 14x^4 + 49x^2 - 36 = 0$
$x^6 - 49x^4 + 504x^2 - 1296 = 0$
$x^6 - 46x^4 + 369x^2 - 324 = 0$
$x^6 - 59x^4 + 499x^2 - 441 = 0$

Lehane · « **Respuesta #1 en:** Julio 27, 2012, 23:34:34 »

Método de factorización de VFI Summers para resolver ecuaciones de sexto grado de la forma $ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0$

$24x^6 + 68x^5 - 34x^4 - 165x^3 - 61x^2 + 41x + 15 = 0$

Se debe elevar el primer término a la quinta potencia y multiplicarlos por el término independiente.

El polinomio quedaría de la siguiente manera:

$24x^6 + 68x^5 - 34x^4 - 165x^3 - 61x^2 + 41x + 119439360$

Se debe descomponer el término independiente en factores primos y con esos números hallar otros seis cuya suma algebraica sea el segundo término del polinomio.

Los factores primos del número 119439360 son: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3 y 5.

Los seis números cuya suma algebraica es el segundo término del polinomio son: 24, 24, 8, -36, 60 y -12, estos números son a, b, c, d, e, f en la siguiente parte del algoritmo.

Antes de continuar debo aclarar que el tercer término debe estar elevado a la cuarta potencia, el cuarto término a la tercera potencia, el quinto término a la segunda potencia y el sexto a la primera potencia.

Esta imagen muestra la serie de operaciones que se debe seguir para obtener las raíces racionales de una ecuación de sexto grado (aclaro que no pongo LaTex porque en algunos sitios me sale error y las fórmulas y operaciones no se visualizan correctamente)

La primera vez que se hace esto puede ser realmente frustrante, así que recomiendo usar calculadora ya que los números van a ser realmente grandes.

Se cumple la igualdad en cada uno de los términos, el algoritmo debe continuar.

Se debe abrir seis paréntesis de la siguiente forma:

$(ax + b)$

Donde a es el primer término del polinomio.

$(24x + a)(24x + b)(24x + c)(24x + d)(24x + e)(24x + f)$

Se debe insertar los números anteriores (a,b,c,d,e,f) en su paréntesis correspondiente.

$(24x + 24)(24x + 24)(24x + 8)(24x - 36)(24x + 60)(24x - 12)$

Como se multiplicó el polinomio por $24x^5 = 7962624$ ahora se debe dividir por esa cantidad, pero como no se puede dividir ese números entre los seis binomios se debe descomponer en factores primos.

Los factores primos de 7962624 son: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 ,3 y 3.

Si en el binomio (ax + b) donde a = b, entonces se debe buscar un número equivalente que divida a ambos.

Si en el binomio (ax + b) se da el caso de que a > b, se debe buscar el mayor número que divida a b y también a ax.

Si en el binomio (ax + b) se da el caso de que a < b, se debe buscar el mayor número que divida a a pero que también divida a b.

Otra forma es observar el primer término y como es un polinomio de sexto grado entonces es el producto de seis binomios de la forma (ax + b), para llegar a esos binomios se debe lograr que el producto de la parte ax de cada binomio sea el primer término.

Los números que dividen a los seis binomios son: 24, 24, 8, 12, 12 y 12.

$\frac{(24x + 24)}{24}$
$\frac{(24x + 24)}{24}$
$\frac{(24x + 8)}{8}$
$\frac{(24x - 36)}{12}$
$\frac{(24x + 60)}{12}$
$\frac{(24x - 12)}{12}$

$(x + 1)$
$(x + 1)$
$(3x + 1)$
$(2x - 3)$
$(2x + 5)$
$(2x - 1)$

Se debe igualar a cero cada factor.

Las raíces de la ecuación $24x^6 + 68x^5 - 34x^4 - 165x^3 - 61x^2 + 41x + 15 = 0$ son: $-1, -1, -\frac{1}{3},\frac{3}{2}, -\frac{5}{2} y \frac{1}{2}$

Conjeturo que todos los polinomios de sexto grado que son generados por seis binomios de la forma (ax + b) pueden ser resueltos por este método.

Ecuaciones de sexto grado que pueden ser resueltas por VFI Summers[/tex]

Debido a que los números que origina este algoritmo son realmente grandes recomiendo usar una calculadora.

$8x^6 + 20x^5 - 46x^4 - 49x^3 + 59x^2 + 29x - 21 = 0$
$18x^6 + 15x^5 - 67x^4 - 46x^3 + 64x^2 + 31x - 15 = 0$
$6x^6 + 29x^5 + 23x^4 - 58x^3 - 64x^2 + 29x + 35 = 0$
$12x^6 + 92x^5 + 205x^4 + 35x^3 - 287x^2 - 127x + 70 = 0[tex]<br />[tex]18x^6 + 129x^5 + 254x^4 - 58x^3 - 482x^2 - 71x + 210 = 0$
$36x^6 + 36x^5 - 607x^4 - 1174x^3 - 500x^2 + 130x + 63 = 0$
$18x^6 + 63x^5 - 344x^4 - 1220x^3 - 796x^2 + 485x + 450 = 0$
$28x^6 + 96x^5 + 17x^4 - 314x^3 - 495x^2 - 292x - 60 = 0$
$8x^6 + 84x^5 + 190x^4 - 145x^3 - 828x^2 - 779x - 210 = 0$
$8x^6 + 60x^5 + 138x^4 + 69x^3 - 111x^2 - 129x - 35 = 0$

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