Siendo: g(x) = f'(x) (No podía meter en latex f'(x) directamente, me salían unos números raros)
Cuando en Latex pongas una "prima", no uses el carácter ' sino \prime como superíndice. Así, f'(x) se escribiría:
f^{\prime}(x)
para dar:
Y ahora mi pregunta: no he estudiado todavía esta fórmula ni creo que lo haga, pero la considero bastante útil.
Seguramente la estudiarás...
¿Sería alguien capaz de demostrar de dónde sale la expresión?
No es difícil. De hecho, ya tienes base suficiente con lo que se da en bachillerato. La longitud de un segmento en el plano, según el teorema de Pitágoras, sería:
Suponte ahora que tienes una función continua
integrable en un intervalo
. Para medir la longitud del arco de la curva
entre
a y
b, escribimos la longitud de un diferencial de arco y la integramos entre
x=a y
x=b. La expresión que nos da la longitud del diferencial de arco sería:
ya que en un entorno de radio suficientemente pequeño, la curva se confunde con la línea recta. Si sacamos factor común
y lo sacamos de la raíz como
dx:
Integrando esto entre
a y
b, se obtiene la longitud del arco que queríamos calcular.
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