Producto escalar y norma

[Jesus Antonio]

Hola a todos, es mi primer post en este fantástico foro. 
Estudio en la UNED ( :pared:) y estoy tratando de resolver un problema de Analisis II.   El enunciado, tal cual, es el siguiente:
Sea la aplicación F: R³ -> R³
                                     
                                               ( 2 0 1 )
tal que F[(a,b,c),(d,e,f)] = (a,b,c) ( 1 0 2  ) (d,e,f) 
                                               ( 0 1 0 )

a) Estudiar si F así definida seria un producto escalar en R³

Según se el producto escalar es una forma bilineal positiva simétrica, una forma cuadrática.   Pero la matriz 3X3 asociada a F no es simetrica, entonces ¿ F no es producto escalar en R³ ? ¿ Estoy equivocado ?

b) Si ||  ||^*  fuera la norma procedente de F y, || || la norma euclidea , se pide hallar las constantes L y U tales que :
L || (a,b,c) || <= || (a,b,c) ||^* <= U || (a,b,c) ||

La norma euclidea es la raíz cuadrada del producto escalar, no se cual es  || ||^* , la norma procedente de F, la cual segun entiendo, esta acotada por dos constantes L y U.   Si F no es producto escalar, ¿ que hago ?. 

Bueno esto es todo, si me podéis ayudar un poco gracias. 

[javiucm]

El apartado a) es correcto... la matriz no es simétrica, por lo que no puede ser un producto escalar.
b) la norma es igual a la euclídea, la raíz de v.F(v) (aunque no sea un producto escalar), pero puedes tomar cuadrados en la desigualdad:
tienes L²(a²+b²+c²)<=(2a²+ca+ba+2cb)<=U²(a²+b²+c²)

El problema es que antes de todo tienes que ver si vF(v) es positivo para todo v, o lo que es lo mismo, si (2a²+ca+ba+2cb)>0

[sherekan]

Hola a todos, es mi primer post en este fantástico foro. 
Estudio en la UNED ( ) y estoy tratando de resolver un problema de Analisis II.   El enunciado, tal cual, es el siguiente:
Sea la aplicación F: R³ -> R³
                                     
                                               ( 2 0 1 )
tal que F[(a,b,c),(d,e,f)] = (a,b,c) ( 1 0 2  ) (d,e,f) 
                                               ( 0 1 0 )

a) Estudiar si F así definida seria un producto escalar en R³

Según se el producto escalar es una forma bilineal positiva simétrica, una forma cuadrática.   Pero la matriz 3X3 asociada a F no es simetrica, entonces ¿ F no es producto escalar en R³ ? ¿ Estoy equivocado ?

b) Si ||  ||^*  fuera la norma procedente de F y, || || la norma euclidea , se pide hallar las constantes L y U tales que :
L || (a,b,c) || <= || (a,b,c) ||^* <= U || (a,b,c) ||

La norma euclidea es la raíz cuadrada del producto escalar, no se cual es  || ||^* , la norma procedente de F, la cual segun entiendo, esta acotada por dos constantes L y U.   Si F no es producto escalar, ¿ que hago ?. 

Bueno esto es todo, si me podéis ayudar un poco gracias. 

a) NO estás equivocado, F No es simétrica y por lo tanto no es un producto escalar.
b) La norma procedente de un producto escalar  es la aplicación que asocia a cada vector la raíz cuadrada de el producto escalar de dicho vector por si mismo( si llamamos v al vector en este caso seria v*F*v^t, donde represento la matriz por F).

 Personalmente creo que la matriz esta mal; si quieres intentar el problema, intercambia las filas 2 y 3 de la matriz, y obtendras una simétrica.

Por cierto estas estudiando Matematicas o Físicas por la UNED?
Yo estoy estudiando matématicas. Ánimo con el estudio!

[sherekan]

Ups respondió javiucm mientras yo escribía 
Lo siento

[Jesus Antonio]

Gracias por las respuestas.
Os aseguro que la matriz del apartado a) es tal cual aparece en el enunciado, aunque intercambiando las dos primeras filas es simétrica.  Por lo tanto me quedo con que F  NO es producto escalar.
En cuanto a hallar las dos constantes del apartado b) tengo que estudiarlo un poco más.

sherekan, si estoy en Físicas de la UNED, gracias por los animos 

[javiucm]

álgebra de físicas es un hueso, pero con (mucho) esfuerzo es posible sacarla decentemente.
Además del texto de la UNED te recomiendo que te ayudes con libros de problemas, como el Jesús Rojo & Isabel Martín en Mc Graw-Hill, o libros de teoría como el archiconocido de Burgos...

[Jesus Antonio]

álgebra de físicas es un hueso, pero con (mucho) esfuerzo es posible sacarla decentemente. 
Además del texto de la UNED te recomiendo que te ayudes con libros de problemas, como el Jesús Rojo & Isabel Martín en Mc Graw-Hill, o libros de teoría como el archiconocido de Burgos. . .

De material didáctico no estoy mal, lo que ocurre es que de vez en cuando estos profes de la UNED te ponen algún "problemilla" como el que os expuesto que hace que tengas que perder muchísimo tiempo buscando aquí y allá.  La carencia de un temario personalizado por un profesor único y su correspondiente seguimiento, hace que a veces el estudiar en la UNED resulte un gran desgaste de tiempo y energía.
Respecto al problema que os comunique ya lo he dejado de lado de momento.  No se que norma || ||^* es la que procede de F  :nose:
Seguiré revisando el foro por si alguien tiene alguna idea y si encuentro la solución os la cuento.
Gracias.

[javiucm]

Una aplicación V-->R  : es una norma si cumple unos axiomas (propiedades), de linealidad, definido positivo,...etc. Tan sólo has de terstear si las cumple. Otra cuestión es si esta norma proviene de un producto escalar, en cuyo caso debe satisfacer una identidad llamada delde paralelogramo (que proviene de la identidad de polarización que da el producto escalar en función la norma).
No todos los espacios normados son espacios con producto escalar...no sé si conocerás la jerarquía entre espacios métricos, normados y con producto escalar...