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problema con integral que no se hacer

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Autor

Tema: problema con integral que no se hacer (Leído 733 veces)

alumno

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Mensajes: 78

problema con integral que no se hacer

« en: Agosto 29, 2008, 02:28:44 »

hola foro hace tiempo que no escribo aqui, pero os quiero pedir ayuda para una integral que no me sale.
Dicho integral es:

este es el procedimiento que he seguido yo:


« Última modificación: Agosto 29, 2008, 05:53:10 por alumno »	En línea

javiucm

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Mensajes: 567

Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #1 en: Agosto 29, 2008, 07:21:07 »

Hay un par de igualdades en la primer l�nea que no estoy seguro de que est�n bien.
En efecto si hacemos el cambio $\displaystyle\,x=\frac{\tan t}{3}$ entonces $\displaystyle\,dx=\frac{\sec^2 t}{3}$ con lo que:
$\displaystyle\,\int dx\sqrt{1+9x^2}=\frac{1}{3}\int dt\sec^{2}t\sqrt{1+\tan^{2}t}=\frac{1}{3}\int dt\frac{\sec^{2}t}{\cos t}$ ya que $\displaystyle\,\sqrt{1+\tan^2t}=\sqrt\frac{\sin^2t+\cos^2t}{cos^2t}=\sqrt\frac{1}{\cos^2t}$ y como $\displaystyle\,\sec t=\frac{1}{\cos t}$ la integral que tienes que resolver es $\displaystyle\,\int dt\frac{1}{\cos^3t}$ .
Podemos ahorrar la mitad de lo que hemos hecho d�ndonos cuenta de que $\displaystyle\,\sec^2t=1+\tan^2t$ .
$\displaystyle\,\int\cos^{-3}tdt$ multiplicando y dividiendo por cos t tenemos:
$\displaystyle\,\int\frac{\cos t}{\cos^4t}dt=\int\frac{\cos t}{(1-\sin^2t)^2}dt=\int\frac{d\sin t}{(1-\sin^2t)^2}=\underbrace{\int\frac{dy}{(1-y^2)^2}}_{y=\sin t}$ .
Ahora tienes que descomponer $\displaystyle\,\frac{1}{(1-y^2)^2}=\frac{1}{(1-y)^2(1+y)^2}=\frac{A}{(1-y)^2}+\frac{B}{(1+y)^2}$ con $\displaystyle\,A(1+y)^2+B(1-y)^2=1$ ...tienes que buscar los coeficientes...cuando los encuentres estas integrales en y son inmediatas.


« Última modificación: Agosto 30, 2008, 11:20:46 por javiucm »	En línea

"Los fil�sofos se han limitado a interpretar el mundo de distintos modos, pero de lo que se trata es de transformarlo."

alumno

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Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #2 en: Agosto 30, 2008, 12:45:31 »

este parte no la entiendo

�de donde sacas d sin t?


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javiucm

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Mensajes: 567

Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #3 en: Agosto 30, 2008, 05:00:34 »

PERD�N hab�a una errata, el menos es un =....corrijo


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"Los fil�sofos se han limitado a interpretar el mundo de distintos modos, pero de lo que se trata es de transformarlo."

alumno

Principiante

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Mensajes: 78

Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #4 en: Agosto 30, 2008, 05:34:38 »

[lo que no se es de donde sale el "d sint"

ya que yo solo veo "cost dt", ese cambio que has hecho ahi no lo veo claro.


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javiucm

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Mensajes: 567

Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #5 en: Agosto 30, 2008, 06:07:54 »

El coseno es la derivada del seno... as� $\displaystyle\,\cos tdt=d\sin t$ ..
jaja el signo en la �ltima igualdad tambi�n est� mal....edito


« Última modificación: Agosto 30, 2008, 06:09:26 por javiucm »	En línea

"Los fil�sofos se han limitado a interpretar el mundo de distintos modos, pero de lo que se trata es de transformarlo."

javiucm

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Mensajes: 567

Re: problema con integral que no se hacer

« Respuesta #6 en: Agosto 31, 2008, 12:20:44 »

No he conseguido encontrar los coeficientes A y B, pero de todas formas la integral en y puede resolverse por partes y haciendo varios cambios de variables lineales. Veamos cu�les.

Hemos llegado a que la integral que ped�as es equivalente a $\displaystyle\,I(y)=\int\frac{dy}{(1-y^2)^2}$ que podemos integrar por partes $\displaystyle\,I(y)=\frac{y}{(1-y^2)^2}-2\cdot\int\frac{2y\cdot dy}{(1-y^2)^3}$ la �ltima integral no es tan dif�cil como parece ya que $\displaystyle\,\frac{2ydy}{(1-y^2)^3}=\frac{d(y^2)}{(1-y^2)^3}\underbrace{=}_{y^2=\epsilon}\frac{d\epsilon}{(1-\epsilon)^3}$ la integral en $\displaystyle\,\epsilon$ es inmediata ya que si hacemos $\displaystyle\,\phi=1-\epsilon$ resulta
$\displaystyle\,\int\frac{d\epsilon}{(1-\epsilon)^3}=-\int\frac{d\phi}{\phi^3}=\frac{1}{2\phi^2}$ con lo que s�lo queda que deshagamos (todos) los cambios.
En la variable auxiliar que antes defin�, me queda: $\displaystyle\,I(t)=\frac{2\sin t-1}{2\cos^2t}$ .
En wiki vienen f�rmulas para escribir el seno y coseno en funci�n de la tangente.


« Última modificación: Agosto 31, 2008, 12:23:55 por javiucm »	En línea

"Los fil�sofos se han limitado a interpretar el mundo de distintos modos, pero de lo que se trata es de transformarlo."

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