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| | | |-+  problema con integral que no se hacer		 0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema. « anterior próximo »
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Autor Tema: problema con integral que no se hacer  (Leído 735 veces)
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« en: Agosto 29, 2008, 02:28:44 »
hola foro hace tiempo que no escribo aqui, pero os quiero pedir ayuda para una integral que no me sale.
Dicho integral es:



este es el procedimiento que he seguido yo:
« Última modificación: Agosto 29, 2008, 05:53:10 por alumno » En línea
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« Respuesta #1 en: Agosto 29, 2008, 07:21:07 »
Hay un par de igualdades en la primer línea que no estoy seguro de que estén bien.
En efecto si hacemos el cambio \displaystyle\,x=\frac{\tan t}{3} entonces \displaystyle\,dx=\frac{\sec^2 t}{3} con lo que:
\displaystyle\,\int dx\sqrt{1+9x^2}=\frac{1}{3}\int dt\sec^{2}t\sqrt{1+\tan^{2}t}=\frac{1}{3}\int dt\frac{\sec^{2}t}{\cos t} ya que \displaystyle\,\sqrt{1+\tan^2t}=\sqrt\frac{\sin^2t+\cos^2t}{cos^2t}=\sqrt\frac{1}{\cos^2t} y como \displaystyle\,\sec t=\frac{1}{\cos t} la integral que tienes que resolver es \displaystyle\,\int dt\frac{1}{\cos^3t}.
Podemos ahorrar la mitad de lo que hemos hecho dándonos cuenta de que \displaystyle\,\sec^2t=1+\tan^2t.
\displaystyle\,\int\cos^{-3}tdt multiplicando y dividiendo por cos t tenemos:
\displaystyle\,\int\frac{\cos t}{\cos^4t}dt=\int\frac{\cos t}{(1-\sin^2t)^2}dt=\int\frac{d\sin t}{(1-\sin^2t)^2}=\underbrace{\int\frac{dy}{(1-y^2)^2}}_{y=\sin t}.
Ahora tienes que descomponer \displaystyle\,\frac{1}{(1-y^2)^2}=\frac{1}{(1-y)^2(1+y)^2}=\frac{A}{(1-y)^2}+\frac{B}{(1+y)^2} con \displaystyle\,A(1+y)^2+B(1-y)^2=1...tienes que buscar los coeficientes...cuando los encuentres estas integrales en y son inmediatas.
« Última modificación: Agosto 30, 2008, 11:20:46 por javiucm » En línea
"Los filósofos se han limitado a interpretar el mundo de distintos modos, pero de lo que se trata es de transformarlo."
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« Respuesta #2 en: Agosto 30, 2008, 12:45:31 »


este parte no la entiendo

¿de donde sacas d sin t?
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« Respuesta #3 en: Agosto 30, 2008, 05:00:34 »
PERDÓN había una errata, el menos es un =....corrijo
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« Respuesta #4 en: Agosto 30, 2008, 05:34:38 »
[lo que no se es de donde sale el "d sint"


ya que yo solo veo "cost dt", ese cambio que has hecho ahi no lo veo claro.
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« Respuesta #5 en: Agosto 30, 2008, 06:07:54 »
El coseno es la derivada del seno... así \displaystyle\,\cos tdt=d\sin t..
jaja el signo en la última igualdad también está mal....edito
« Última modificación: Agosto 30, 2008, 06:09:26 por javiucm » En línea
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« Respuesta #6 en: Agosto 31, 2008, 12:20:44 »
No he conseguido encontrar los coeficientes A y B, pero de todas formas la integral en y puede resolverse por partes y haciendo varios cambios de variables lineales. Veamos cuáles.

Hemos llegado a que  la integral que pedías es equivalente a \displaystyle\,I(y)=\int\frac{dy}{(1-y^2)^2} que podemos integrar por partes \displaystyle\,I(y)=\frac{y}{(1-y^2)^2}-2\cdot\int\frac{2y\cdot dy}{(1-y^2)^3} la última integral no es tan difícil como parece ya que \displaystyle\,\frac{2ydy}{(1-y^2)^3}=\frac{d(y^2)}{(1-y^2)^3}\underbrace{=}_{y^2=\epsilon}\frac{d\epsilon}{(1-\epsilon)^3} la integral en \displaystyle\,\epsilon es inmediata ya que si hacemos \displaystyle\,\phi=1-\epsilon resulta
\displaystyle\,\int\frac{d\epsilon}{(1-\epsilon)^3}=-\int\frac{d\phi}{\phi^3}=\frac{1}{2\phi^2} con lo que sólo queda que deshagamos (todos) los cambios.
En la variable auxiliar que antes definí, me queda: \displaystyle\,I(t)=\frac{2\sin t-1}{2\cos^2t}.
En wiki vienen fórmulas para escribir el seno y coseno en función de la tangente.
« Última modificación: Agosto 31, 2008, 12:23:55 por javiucm » En línea
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