Problemas integrales

[lettypan]

Hola a todos!
 Mi duda es sobre un problema de matematicas,que pide demostrar que las áreas comprendidas entre el eje OX y las ondas y=[e^(-x)]*sin(x) forman una progresión geométrica de razón e^(-X). Calcular tb el area total de las ondas situadas a la dcha del eje OY.

Lo de la progresion geometrica como tendria que hacerlo? para calcular el area a la dcha del eje OY, tengo que integrar esa funcion de 0 a infinto?


Muchisimas gracias a todos!

[Teaius]

Tendrás que resolver la integral entre dos ceros consecutivos de la función, digamos el cero número n y el n+1 (los cuales te los da exclusivamente el seno) y ver que dicha área, resultado de la integral, corresponde con un término general de una sucesión geométrica con esa razón, osea que te sale: A*[exp(-X)]ⁿ  siendo A el área del primer trozo, ya que una sucesion geométrica tiene por término general p_n=A rⁿ Lo que no se es que es esa X mayúscula. ¿Es algún otro dato? no se, supongo que sale de las cuentas aunque yo juraría que es pi

[lettypan]

No, no, todas las "x" son minusculas.
Mañana me pongo con ello y te cuento.
Muchas gracias!

[Teaius]

No tiene sentido que sea x, estás integrando en x, deben salir números que solo dependerán de los intervalos de integración.

[lettypan]

Tienes razón, en el enunciado traia una x pero le pregunté al profesor y me dijo que lo cambiase y pusiese un "pi",osea, que la razon es e^(-pi).
Ya lo hice, y obtuve lo siguiente:
Como los ceros de la función son los del seno, son los múltiplos de "pi".

Por tanto integré:
Entre "0 y pi":1/2*exp(-pi)+1/2
Entre "pi y 2pi":-1/2*exp(-2*pi)-1/2*exp(-pi)
Entre "pi y 3pi":1/2*exp(-3*pi)+1/2*exp(-2*pi)

Por tanto la razón es r=-exp(-pi), está bien?es que como me piden demostrar que la razon es eso pero con el signo POSITIVO...

Y como calculo el area total de las ondas del lado positivo del eje Y?Integrando o utilizando             Sn=[(an*r)-a1] / [r-1]

Gracias!!

[Teaius]

el problema es que estríctamente hablando entre npi y (n+1)pi con n par te sale positivo (la función está por encima del eje x)  y con n impar te sale área negativa (está por debajo del eje x). Si te olvidas de eso y tomas el valor absoluto te debería salir lo mismo integrando de 0 a npi que con la fórmula de la suma de la sucesion.

[lettypan]

Pero el area total no lo puedo calcular numericamente no?porque la n va hasta infinito...
Siento molestarte
Muchas gracias!

[Teaius]

En este caso si que puedes porque la razón es menor que 1, por lo tanto

Entonces la suma total de los infinitos términos queda simplemente como:


Y esto debería coincidir con la integral:


Prueba a ver y si no te sale me lo dices.

[lettypan]

Me sale lo mismo, si en vez de poner P1 en la formula de S, pongo el area del primer trozo, osea. S=a1/(1-r), y por lo que mire por ahi, creo que está bien. Asi que por fin he conseguido acabar el ejercicio.
MUCHAS, MUCHISIMAS gracias

[lettypan]

Me acabo de dar cuenta de que la integral del valor absoluto, no es igual al valor absoluto d el aintegral.¿Como puedo calcular la integral del valor absoluto de exp(-x)*sin(x)?
Sienot las molestias.
Muchas gracias!

[Teaius]

Tienes razón, lo siento, metí la pata al meter el valor absoluto dentro del integrando, lo que quería decir es que había que coger el valor absoluto de la integral, se me escapó y lo coloque dentro de la integral. Solo coincidirían si la función a integrar es impar y obviamente no lo es.

A ver, tenemos la famosa integral:


La cual hay que evaluar entre dos ceros consecutivos de la función.

El resultado de esta integral es:
Si estamos en un intervalo donde n es par el resultado al evaluarla es:
y cuando n es impar tenemos
Como ves solo difieren en el signo. Así que puedes tomar el valor absoluto de la integral y ya está.

[lettypan]

Vale, ya lo entregué y fue esto lo que había puesto, ais que supongo que estará bien...jejeje.
Muchas gracias por todo!