Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos

[fegapa]

Landertxu:

1. Dices:

- Ver que no es exhaustiva es muy fácil. Basta con encontrar un elemento del conjunto de los naturales que no sea par. Da igual que los conjuntos sean infinitos. Para ver que la segunda sí que lo es, aunque sean conjuntos infinitos lo que se hace en estos casos es "tomar un elemento cualquiera". Sea n un elemento cualquiera del conjunto de los naturales. Lo multiplicamos por dos y da un par. Y resulta que dividiendo entre dos ese par obtendremos n, por lo que la aplicación de ese par da el elemento n que buscábamos. Como funciona para un n cualquiera, lo hemos demostrado pese a que el conjunto es infinito.

- Bueno, no hace falta contemplar la totalidad. Si demuestras que elijas el emparejamiento que elijas va a dar, entonces sabes que dará pese a no elegirlos todos.

- Pues no. Tú dices que esa es la única forma (por supuesto sin demostrarlo). Yo te digo que hay más formas: Rompiendo los emparejamientos y creando otros nuevos. Y esto sí está probado.
 
- El concepto de "rezagado" es bastante poco formal, ¿no crees? Aunque a ti te parezca que nunca se van a completar, puedes comprobar como una vez están realizados los emparejamientos, ningún natural se queda fuera de ellos.

- Al revés. El ver que hay un presunto "rezago" es una herramienta no apropiada cuando tratamos de comparar conjuntos infinitos, como se ha visto, ya que la aplicación está probado que es exhaustiva.

El punto fundamental para probar que existen rezagos*, es no perder de vista que el subconjunto que pretendes poner en correspondencia es propio del conjunto.

* (Rezago=número de elementos -de alguno de los conjuntos-, que quedan excluídos de los emparejamientos).

Vgr. Si tomamos un conjunto finito de naturales ej. el conjunto del 1 al 10, tenemos que su subconjunto propio de pares se forma por 5 números (pares).

1,   2,   3,   4,   5,    6,   7,   8,   9,   10        conjunto (finito) de naturales
     2         4           6         8         10        sub conjunto propio de pares

Si los ponemos en correspondencia 1-1  quedaría así:

1-2   2-4   3-6   4-8   5-10

¿Que números quedaron fuera de los emparejamientos de este conjunto finito con su subconjunto propio Landertxu? ¿Cuesta mucho trabajo apreciar que existen 5 números del conjunto de naturales que quedaron excluídos de los emparejamientos (el 6, 7, 8, 9, y10)? espero que me aceptes al menos que estos 5 números han quedado rezagados (es decir, fuera de los emparejamientos al poner en correspondencia este C. finito de naturales con su SC. de pares)  ¿tienes alguna dificultad para aceptarlo?, creo ésto es totalmente evidente Landertxu y no necesita mayor prueba.

Ahora bien, de la misma forma se puede probar sin problema que:
Si tomamos el conjunto finito de naturales del 1 al 100 quedan 50 números rezagados (fuera de los emparejamientos), y si el conjunto de naturales es del 1 al 1000 quedan 500 números rezagados, aquí lo expongo más gráficamente.

Conjunto de:   1 al 10               produce 5 números rezagados.
                    1 al 100                         50
                    1 al  1000                       500
                    1 al  100000                    50000
                    1 al  1000000000              500000000
                    1  tendencia a  infinito        infinitos números rezagados (fuera de los emparejamientos).

Conclusión:  Si proyectamos esta tendencia al infinito tendremos también una tendencia infinita de números naturales rezagados con respecto al conjunto propio de pares, por lo cual no es lógico suponer que la correspondencia entre ambos conjuntos, si se elige la combinación 1-1, sea exhaustiva en caso alguno, ya sea que se trate de conjuntos finitos o teóricamente infinitos y si no es exhaustiva, no puede establecerse la biyección entre el CI y su SCI propio. 

De acuerdo con lo anterior, si por cada par existen dos naturales, es de tal manera evidente que el cardinal de un conjunto de naturales debe ser siempre el doble que el de su SC propio de pares, que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor, que, al proyectarlos al infinito postula su equivalencia, es evidentemente incorrecta.

Continuaré contestando el punto relativo al conjunto de proposiciones contradictorias en el próximo mensaje.

Saludos

[fegapa]

Landertxu
Continúo respondiendo tu M:119

De todas formas sigo sin ver la necesidad de crear un conjunto infinito de ese tipo. Con el simple conjunto {"Esta proposición es falsa"} ya tendrías suficiente para ilustrar lo que dices. Y en fin, creo que la axiomática ZF sólo habla de conjuntos, y de conjuntos de conjuntos,...y según se ve, conjunto de proposiciones, siempre que las proposiciones también estén bien definidas. En este caso de todas formas hablar de un conjunto de proposiciones contradictorias me parece que no tiene demasiado interés. Es como hablar de un conjunto de reales negativos, o de naturales impares. Las proposiciones contradictorias son aquellas que son una proposición, y que cumplen que son contradictorias, como podrían cumplir que son largas o cortas o que tiene un número especial de símbolos de un tipo. Me parece que no contradecimos la axiomática de conjuntos de esta forma.

Si la única "verdad" que un conjunto encierra en él, es que no encierra en él verdad alguna, el conjunto es en sí mismo contradictorio.

Esto se aplica a un conjunto del cual se afirma que cumple, sin excepción, la acción de encerrar únicamente proposiciones falsas o contradictorias.

Saludos

[Landertxu]

El punto fundamental para probar que existen rezagos*, es no perder de vista que el subconjunto que pretendes poner en correspondencia es propio del conjunto.

* (Rezago=número de elementos -de alguno de los conjuntos-, que quedan excluídos de los emparejamientos).

Vgr. Si tomamos un conjunto finito de naturales ej. el conjunto del 1 al 10, tenemos que su subconjunto propio de pares se forma por 5 números (pares).

1,   2,   3,   4,   5,    6,   7,   8,   9,   10        conjunto (finito) de naturales
     2         4           6         8         10        sub conjunto propio de pares

Si los ponemos en correspondencia 1-1  quedaría así:

1-2   2-4   3-6   4-8   5-10

¿Que números quedaron fuera de los emparejamientos de este conjunto finito con su subconjunto propio Landertxu? ¿Cuesta mucho trabajo apreciar que existen 5 números del conjunto de naturales que quedaron excluídos de los emparejamientos (el 6, 7, 8, 9, y10)? espero que me aceptes al menos que estos 5 números han quedado rezagados (es decir, fuera de los emparejamientos al poner en correspondencia este C. finito de naturales con su SC. de pares)  ¿tienes alguna dificultad para aceptarlo?, creo ésto es totalmente evidente Landertxu y no necesita mayor prueba.

Evidentísimo, me lo creo.

Ahora bien, de la misma forma se puede probar sin problema que:
Si tomamos el conjunto finito de naturales del 1 al 100 quedan 50 números rezagados (fuera de los emparejamientos), y si el conjunto de naturales es del 1 al 1000 quedan 500 números rezagados, aquí lo expongo más gráficamente.

Conjunto de:   1 al 10               produce 5 números rezagados.
                    1 al 100                         50
                    1 al  1000                       500
                    1 al  100000                    50000
                    1 al  1000000000              500000000
                    1  tendencia a  infinito        infinitos números rezagados (fuera de los emparejamientos).

Conclusión:  Si proyectamos esta tendencia al infinito tendremos también una tendencia infinita de números naturales rezagados con respecto al conjunto propio de pares, por lo cual no es lógico suponer que la correspondencia entre ambos conjuntos, si se elige la combinación 1-1, sea exhaustiva en caso alguno, ya sea que se trate de conjuntos finitos o teóricamente infinitos y si no es exhaustiva, no puede establecerse la biyección entre el CI y su SCI propio. 

De acuerdo con lo anterior, si por cada par existen dos naturales, es de tal manera evidente que el cardinal de un conjunto de naturales debe ser siempre el doble que el de su SC propio de pares, que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor, que, al proyectarlos al infinito postula su equivalencia, es evidentemente incorrecta.

No es evidente, no me lo creo. Tienes una propiedad que se cumple para conjuntos finitos, y quieres afirmar que se cumplirá también para conjuntos infinitos. Del mismo modo podría hacer:

1/1 = 1
1/0.1 = 10
1/0.0001 = 10000
1/0.0000000001 = 10000000000
...
1/0 = ¿¿infinito??

Pero no, no se puede dividir entre 0. Como mucho podemos demostrar que siempre crece, pero la división entre 0 no existe. Del mismo modo tú podrías demostrar inductivamente que para todo natural se cumple que hay n/2 "rezagados". Pero eso no prueba que para un conjunto infinito también existan rezagados. Esto se debe a que los finitos tienen una propiedad que no tienen los infinitos: Al añadirles un elemento cambia el cardinal. Así si añades un elemento a un conjunto y dos a otro, habrá uno que crezca más el cardinal que el otro. En los infinitos esto no es así, y por tanto no puedes usar las mismas afirmaciones.

[Landertxu]

Landertxu
Continúo respondiendo tu M:119

Si la única "verdad" que un conjunto encierra en él, es que no encierra en él verdad alguna, el conjunto es en sí mismo contradictorio.

Esto se aplica a un conjunto del cual se afirma que cumple, sin excepción, la acción de encerrar únicamente proposiciones falsas o contradictorias.

Saludos

Sigue sin parecerme un conjunto interesante. Tenemos un conjunto cuyos elementos son proposiciones contradictorias. Las proposiciones son estructuras gramaticales creadas a través de axiomas. Y las contradictorias son un tipo de proposición. La frase "Esto es falso" existe, y por tanto el conjunto {"Esto es falso"} existe, y contiene el elemento "Esto es falso" y ninguno más. Que sea una contradicción o que sea una ambigüedad no afecta a que el conjunto esté perfectamente definido y no sea contradictorio.

[fegapa]

Landertxu
Dices:

No es evidente, no me lo creo. Tienes una propiedad que se cumple para conjuntos finitos, y quieres afirmar que se cumplirá también para conjuntos infinitos. Del mismo modo podría hacer:
1/1 = 1
1/0.1 = 10
1/0.0001 = 10000
1/0.0000000001 = 10000000000
...
1/0 = ¿¿infinito??
Pero no, no se puede dividir entre 0. Como mucho podemos demostrar que siempre crece, pero la división entre 0 no existe. Del mismo modo tú podrías demostrar inductivamente que para todo natural se cumple que hay n/2 "rezagados". Pero eso no prueba que para un conjunto infinito también existan rezagados. Esto se debe a que los finitos tienen una propiedad que no tienen los infinitos: Al añadirles un elemento cambia el cardinal. Así si añades un elemento a un conjunto y dos a otro, habrá uno que crezca más el cardinal que el otro. En los infinitos esto no es así, y por tanto no puedes usar las mismas afirmaciones.

Implícitamente aceptas que existe una línea divisoria cualitativa entre la realidad finita y la infinita y como sus propiedades son diferentes no aplican las mismas afirmaciones para una y otra, lo cual he indicado repetidamente, pero entonces:

Tu afirmación sobre la "definición" del conjunto infinito de naturales que "contiene al cero y que si contiene un elemento contiene el siguiente" (M:96)... decía yo: ¿como piensas proyectar esta sucesión númerica al infinito rebasando la barrera cualitativa que separa las dos realidades (finita e infinita)?
¿Por axioma? (¿?)... ¿Suponiendo que es finito y si llegas a una contradicción entonces "por axioma" rebasas automáticamente la barrera al infinito?

Te respondo con tus mismas palabras:

"No es evidente, no me lo creo. Tienes una propiedad que se cumple para conjuntos finitos, y quieres afirmar que se cumplirá también para conjuntos infinitos. Del mismo modo podría hacer:
1/1 = 1
1/0.1 = 10
1/0.0001 = 10000
1/0.0000000001 = 10000000000
...
1/0 = ¿¿infinito??
Pero no, no se puede dividir entre 0. Como mucho podemos demostrar que siempre crece, pero la división entre 0 no existe... En los infinitos esto no es así, y por tanto no puedes usar las mismas afirmaciones"

Mientras el predecesor de cada nuevo número sea finito y éste se construya sumándole "uno" o cualquier otro número finito a dicho predecesor, obtendrás siempre un número finito."Cuando mucho podemos demostrar que siempre crece."

Así pues, si, como das a entender, no se pueden proyectar los rezagos desde la realidad finita a la infinita por poseer ambas propiedades distintas, tampoco puedes proyectar la sucesión númerica de naturales desde una realidad finita pretendiendo rebasar la barrera cualitativa que la separa con el infinito mediante una simple definición o un axioma.

¿Como puedes definir lo indefinido Landertxu?

Saludos

[Landertxu]

La definición "contiene al cero y si contiene un elemento contiene al siguiente" nos permite definir un conjunto, de forma que si me das un elemento, yo te puedo decir si es natural o no, a partir de esa definición. No hace falta atravesar ninguna barrera: yo te he dado una definición, y por lo visto hasta ahora no es contradictoria. Tú no has dado una definición, tú has visto que una propiedad se cumple para todo n, y ahora afirmas que como se cumple para todo n se cumple para un conjunto infinito. Es como decir que el infinito es finito, de la siguiente forma: El (cardinal) 1 es finito, el 2 es finito, el 10 es finito, el 1000 es finito, el 1000000000000 es finito; por tanto, como por muy grande que sea, el cardinal es finito, entonces el infinito es finito. Son conceptos muy diferentes.

[fegapa]

Landertxu

La definición "contiene al cero y si contiene un elemento contiene al siguiente" nos permite definir un conjunto, de forma que si me das un elemento, yo te puedo decir si es natural o no, a partir de esa definición. No hace falta atravesar ninguna barrera: yo te he dado una definición, y por lo visto hasta ahora no es contradictoria. Tú no has dado una definición, tú has visto que una propiedad se cumple para todo n, y ahora afirmas que como se cumple para todo n se cumple para un conjunto infinito. Es como decir que el infinito es finito, de la siguiente forma: El (cardinal) 1 es finito, el 2 es finito, el 10 es finito, el 1000 es finito, el 1000000000000 es finito; por tanto, como por muy grande que sea, el cardinal es finito, entonces el infinito es finito. Son conceptos muy diferentes.

Si consideras el conjunto de N como infinito, a tu definición de conjunto de N: "contiene al cero y si contiene un elemento contiene al siguiente" aplican tus propias palabras:

"Tú has visto que una propiedad se cumple para todo n, y ahora afirmas que como se cumple para todo n se cumple para un conjunto infinito. Es como decir que el infinito es finito, de la siguiente forma: El (cardinal) 1 es finito, el 2 es finito, el 10 es finito, el 1000 es finito, el 1000000000000 es finito; por tanto, como por muy grande que sea, el cardinal es finito, entonces el infinito es finito. Son conceptos muy diferentes".

Entre la realidad finita y la infinita existe una barrera cualitativa Landertxu, por eso son conceptos tan diferentes.

Si como das a entender, un conjunto infinito de rezagos* es un concepto muy diferente al de un conjunto finito de ellos, también un conjunto infinito de naturales es un concepto muy diferente al de un conjunto finito de ellos.       
*(Rezagos: Ver M:120)

Así pues, como afirmaba, si no se pueden proyectar los rezagos desde la realidad finita a la infinita por poseer ambas propiedades distintas, tampoco puedes proyectar la sucesión númerica de naturales desde una realidad finita pretendiendo rebasar la barrera cualitativa que la separa con el infinito mediante una simple definición o un axioma.

¿Como puedes definir lo indefinido Landertxu?

Si yo pretendo considerar (o ¿definir?) el conjunto de elementos rezagados, de esta forma:

Para todo conjunto de naturales puesto en correspondencia 1-1 con su subconjunto propio de pares se cumple que existen n/2 rezagados, ya que para el primer emparejamiento en correspondencia 1-1 existe un natural rezagado y por cada nuevo emparejamiento 1-1 existe también un nuevo natural rezagado.

Habría que estudiar bien este intento de definición, pero en el caso de ser correcta,  sería válida solamente para conjuntos finitos, así como la definición que das del conjunto de N es únicamente válida para conjuntos finitos por las razones arriba expresadas y porque las contradicciones típicas de los CIAs (conjuntos infinitos actuales) solo podrían ser eliminadas poniendo en biyección el conjunto de N con alguno de sus subconjuntos propios y para ello es fundamental que no existan rezagos, pues estos impiden que las aplicaciones se realicen en forma exhaustiva, lo cual es indispensable para establecer dicha biyección.

Saludos

[Landertxu]

Aquí el único salto delicado es suponer que existe el conjunto de los naturales (que no se puede demostrar, y por tanto es un axioma ZF). Al no haber contradicción en dicho conjunto hasta ahora se presupone que está bien definido. Y sí, queda un conjunto "infinito", que es diferente a un conjunto finito (en tanto que no es el mismo conjunto), y comparte algunas propiedades y otras no.

Lo de los rezagos haces inducción: Para un conjunto finito cualquiera hay rezago, y para otro un par de elementos más grandes también lo hay. Así de muestras que existe para todo conjunto finito, pero no para el infinito. Del mismo modo tampoco se garantizaría la existencia de un conjunto infinito si no estuviera definido por axioma.

[fegapa]

Landertxu

1. Dices:

Aquí el único salto delicado es suponer que existe el conjunto de los naturales (que no se puede demostrar, y por tanto es un axioma ZF). Al no haber contradicción en dicho conjunto hasta ahora se presupone que está bien definido. Y sí, queda un conjunto "infinito", que es diferente a un conjunto finito (en tanto que no es el mismo conjunto), y comparte algunas propiedades y otras no.

Bueno, dices que no hay contradicción en el conjunto infinito actual de N, y que está bien definido, pero la prueba que mencioné en M:126 de que efectivamente existe contradicción en dicho conjunto se basa en tus propias palabras, así que tú mismo eres quien proporciona los elementos para señalar esas contradicciones, aunque las hayas referido al conjunto de naturales rezagados, lo que afirmas es perfectamente aplicable al conjunto infinito actual de N, a menos que demuestres que esto no es así.

Aquí incluyo nuevamente lo que mencionas:

"Tú has visto que una propiedad se cumple para todo n, y ahora afirmas que como se cumple para todo n se cumple para un conjunto infinito. Es como decir que el infinito es finito, de la siguiente forma: El (cardinal) 1 es finito, el 2 es finito, el 10 es finito, el 1000 es finito, el 1000000000000 es finito; por tanto, como por muy grande que sea, el cardinal es finito, entonces el infinito es finito." Contradicción

2. Dices:

Lo de los rezagos haces inducción: Para un conjunto finito cualquiera hay rezago, y para otro un par de elementos más grandes también lo hay. Así demuestras que existe para todo conjunto finito, pero no para el infinito. Del mismo modo tampoco se garantizaría la existencia de un conjunto infinito si no estuviera definido por axioma.

Gracias por reconecer, al menos, que existe rezago para todo conjunto finito.

La "inducción matemática" según Wikipedia "es un caso especial, donde se va de lo particular a lo general y, no obstante, se obtiene una conclusión necesaria"., así pues, si  la conclusión obtenida es necesaria para todo conjunto finito y de acuerdo a lo demostrado en el primer punto, el conjunto de N es precisamente finito (pues como ahí se vió, considerarlo infinto lleva a contradicción), de aquí se deduce que lo que demuestro sobre el conjunto de rezagos es aplicable al C. de N. en su totalidad.

De acuerdo a lo dicho, como la definición que das del conjunto de N es únicamente válida para conjuntos finitos por las razones arriba expresadas y porque, como ya había comentado, las contradicciones típicas de los CIAs (conjuntos infinitos actuales) solo podrían ser eliminadas poniendo en biyección el conjunto de N con alguno de sus subconjuntos propios y para ello es fundamental que no existan rezagos, ya que estos impiden que las aplicaciones se realicen en forma exhaustiva, lo cual es indispensable para establecer dicha biyección, así pues,definir por axioma el conjunto de rezagos sería el autogol para quien no quiera reconocer la existencia de las contradicciones mencionadas para los IAs (ver primer punto) ¿no crees?

Saludos

[Landertxu]

Bueno, dices que no hay contradicción en el conjunto infinito actual de N, y que está bien definido, pero la prueba que mencioné en M:126 de que efectivamente existe contradicción en dicho conjunto se basa en tus propias palabras, así que tú mismo eres quien proporciona los elementos para señalar esas contradicciones, aunque las hayas referido al conjunto de naturales rezagados, lo que afirmas es perfectamente aplicable al conjunto infinito actual de N, a menos que demuestres que esto no es así.

Aquí incluyo nuevamente lo que mencionas:

"Tú has visto que una propiedad se cumple para todo n, y ahora afirmas que como se cumple para todo n se cumple para un conjunto infinito. Es como decir que el infinito es finito, de la siguiente forma: El (cardinal) 1 es finito, el 2 es finito, el 10 es finito, el 1000 es finito, el 1000000000000 es finito; por tanto, como por muy grande que sea, el cardinal es finito, entonces el infinito es finito." Contradicción

Creo que o no me he explicado bien o no se me ha entendido bien. Aquí he hecho una reducción al absurdo. He usado el mismo razonamiento que tú para llegar a la conclusión de que el infinito es finito, lo cual es absurdo. Por tanto tu método no funciona. Efectivamente, con la inducción se puede demostrar una propiedad para cualquier natural, pero no para el conjunto de los naturales. La inducción dice que si se cumple para n=1, y si se cumple para n+1 suponiendo que se cumple para n, entonces se cumple para todo n. Es decir, se cumple para 2, para 10, para 100000, para 1000000000, pero no necesariamente para el conjunto de los naturales (yo perdí un tercio de punto en un examen por demostrar por inducción una propiedad para un conjunto infinito).

Con esto simplemente quiero decir que no puedes probar que el rezago exista para conjuntos infinitos, y que tampoco puedes probar que el infinito es finito. Así que de momento no hay contradicción.

La "inducción matemática" según Wikipedia "es un caso especial, donde se va de lo particular a lo general y, no obstante, se obtiene una conclusión necesaria"., así pues, si  la conclusión obtenida es necesaria para todo conjunto finito y de acuerdo a lo demostrado en el primer punto, el conjunto de N es precisamente finito (pues como ahí se vió, considerarlo infinto lleva a contradicción), de aquí se deduce que lo que demuestro sobre el conjunto de rezagos es aplicable al C. de N. en su totalidad.

El conjunto de N no es finito. Considerarlo a infinito no lleva a ninguna contradicción si usas los métodos adecuados (hacer una inducción para infinito no es un método adecuado).

De acuerdo a lo dicho, como la definición que das del conjunto de N es únicamente válida para conjuntos finitos por las razones arriba expresadas y porque, como ya había comentado, las contradicciones típicas de los CIAs (conjuntos infinitos actuales) solo podrían ser eliminadas poniendo en biyección el conjunto de N con alguno de sus subconjuntos propios y para ello es fundamental que no existan rezagos, ya que estos impiden que las aplicaciones se realicen en forma exhaustiva, lo cual es indispensable para establecer dicha biyección, así pues,definir por axioma el conjunto de rezagos sería el autogol para quien no quiera reconocer la existencia de las contradicciones mencionadas para los IAs (ver primer punto) ¿no crees?

El conjunto de rezagos por axioma sería incompatible con la existencia de naturales (también por axioma). Así que en este momento de la matemática, como en cualquier otro, hay que aceptar como axioma lo que nos sea más útil. ¿Qué es más útil? ¿Que el axioma de la elección sea cierto o no? ¿Que el axioma del continuo sea cierto o no? Pues lo mismo, se ha visto que el axioma de infinitud (existencia de naturales) es más útil que suponer que sea falso. Y el suponer que sea cierto lo hace incompatible con los rezagos.

[fegapa]

Landertxu

Quiero abrir un paréntesis para hacerte una pregunta, mientras pienso como responder esto de la inducción que me parece fundamental.

1. En M:82 decías:

¿Cual es la paradoja de que al dividir un conjunto infinito te quede otro conjunto infinito? Es precisamente lo que se espera, ¿no?

De acuerdo con ésto que afirmas, si tomamos el CI de N tendremos que contiene infinitos sub conjuntos de vgr. 2 elementos, (que en este caso son números naturales), e igualmente infinitos subconjuntos de 3 elementos, así como también de 4 elementos etc. etc. y si estos subconjuntos finitos no cupieran infinitas veces en el CI de naturales, sería evidente que éste no es infinito.

2. Tomemos por ejemplo el conjunto que exclusivamente agrupa todos los subconjuntos de 2 elementos y establezcamos entre éste conjunto y el C de N una biyección… nos queda así:

[1,2] - 1        [3,4] – 2        [5,6] - 3        [7,8] – 4     … con tendencia a infinito

De acuerdo con esto,  quedó establecida la biyección entre ambos conjuntos [el de (N) y el subconjunto propio que únicamente agrupa todos y c/u de los subconjuntos que contienen dos números naturales (SC2N)],  y por lo tanto, ambos son equivalentes e igualmente infinitos ¿no es así? 

3. Pero si ambos son infinitos, así como el  C. de N puede ponerse en biyección con algún subconjunto propio, (que en este caso es el SC2N), éste debe poderse poner a su vez en biyección con algún subconjunto propio y cada nuevo subconjunto con el cual se establece una biyección debe poderse poner a su vez en biyección con algún subconjunto propio, con tendencia a infinito. No estoy seguro de ésto pero, ¿es así?

A manera de ejemplo, quisiera preguntarte si este último conjunto infinito, que únicamente agrupa todos y c/u de los subconjuntos de dos números naturales (SC2N), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus subconjuntos propios? y concretamente ¿con cual?

Generalizando la pregunta:

El conjunto infinito de todos los subconjuntos exclusivamente finitos (que precisamente  por ser finitos no se pueden poner en biyección con alguno de sus superconjuntos), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus propios subconjuntos?

Saludos

[fegapa]

Landertxu

1. Dices:

- Se ha visto que el axioma de infinitud (existencia de naturales) es más útil que suponer que sea falso. Y el suponer que sea cierto lo hace incompatible con los rezagos.

- Con esto simplemente quiero decir que no puedes probar que el rezago exista para conjuntos infinitos, y que tampoco puedes probar que el infinito es finito. Así que de momento no hay contradicción.

¿Una afirmación subjetivamente útil, es siempre objetivamente verdadera? ¿Que opinas?

Cuando una teoría no es objetivamente verdadera, tarde o temprano aparece una contradicción que la derrumba a pesar de su aparente utilidad. Hasta las teorías más fuertes caen cuando encierran contradicciones, así ha funcionado la ciencia.

2. Por otra parte, en el mensaje anterior preguntaba yo:

"El conjunto infinito de todos los subconjuntos exclusivamente finitos (que precisamente  por ser finitos no se pueden poner en biyección con alguno de sus superconjuntos), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus propios subconjuntos?"

Si la respuesta es sí, te contradices.
Si la respuesta es no, ¿como es que dicho conjunto es infinito, si no existe un subconjunto propio con el cual pueda establecerse una biyección Landertxu?

En el mismo mensaje anterior (M:130) hago algunas preguntas relacionadas con este punto, creo que serán interesantes tus comentarios a los cuestionamientos expresados en dicho mensaje.

Saludos cordiales

[Landertxu]

2. Tomemos por ejemplo el conjunto que exclusivamente agrupa todos los subconjuntos de 2 elementos y establezcamos entre éste conjunto y el C de N una biyección… nos queda así:

[1,2] - 1        [3,4] – 2        [5,6] - 3        [7,8] – 4     … con tendencia a infinito

De acuerdo con esto,  quedó establecida la biyección entre ambos conjuntos [el de (N) y el subconjunto propio que únicamente agrupa todos y c/u de los subconjuntos que contienen dos números naturales (SC2N)],  y por lo tanto, ambos son equivalentes e igualmente infinitos ¿no es así? 

Sí. El primer conjunto se llama el conjunto cociente de N con la relación de equivalencia que hace corresponder a un impar el siguiente, y a un par el anterior (o bien él mismo).

3. Pero si ambos son infinitos, así como el  C. de N puede ponerse en biyección con algún subconjunto propio, (que en este caso es el SC2N), éste debe poderse poner a su vez en biyección con algún subconjunto propio y cada nuevo subconjunto con el cual se establece una biyección debe poderse poner a su vez en biyección con algún subconjunto propio, con tendencia a infinito. No estoy seguro de ésto pero, ¿es así?

Es muy probable que si el cardinal no cambia puedas hacer una cadena infinita. Infinita quiere decir que puedes hacer los grupos tan grandes como quieras (por ejemplo, [1...1000], [1001...2000]...), no que exista un límite cuando los grupos son infinitamente grandes.

A manera de ejemplo, quisiera preguntarte si este último conjunto infinito, que únicamente agrupa todos y c/u de los subconjuntos de dos números naturales (SC2N), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus subconjuntos propios? y concretamente ¿con cual?

El conjunto que dices de clases de equivalencia sí lo veo infinito. Lo vería como el conjunto cociente de la relación de equivalencia de dar el mismo cociente al dividirlo entre , para cualquier n. Se podría poner en biyección con el subconjunto de dar el mismo cociente al dividirlo entre . Supongo que me permitirás incluir el 0 en los naturales para simplificar la definición. En este caso, el primer elemento del conjunto (cuando n=1), sería aquellos tales que al dividirlo entre 2 da el mismo cociente. Es decir, [0,1], [2,3]... El elemento 10 sería aquel que al dividirlo entre 1024 da el mismo cociente. Esto es: [0,1,...,1023], [1024, 1025, ... 2047]... Es un conjunto infinito de conjuntos infinitos. Si hacemos la biyección que he propuesto, pondríamos en biyección el conjunto [0,1], [2,3]... (n=1) con el conjunto [0...7], [8...15]... (m=2n+1=3). Esto es un subconjunto propio (sólo tomamos los n impares), y hacemos una biyección.

El conjunto infinito de todos los subconjuntos exclusivamente finitos (que precisamente  por ser finitos no se pueden poner en biyección con alguno de sus superconjuntos), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus propios subconjuntos?

Bueno, yo no he hablado del conjunto de todos los subconjuntos finitos, sino de un conjunto infinito de subconjuntos finitos (que no tiene por qué contenerlos todos). Esto sería diferente. Evidentemente el conjunto de conjuntos exclusivamente finitos es infinitos, pero ahora mismo no sé si tiene cardinal aleph 0 o aleph 1, tendría que pensarlo. Es claramente infinito, ya que contiene al conjunto infinito de los conjuntos de un solo elemento (o sea, N), pero está contenido en partes de N (el conjunto de todos los subconjuntos, finitos o infinitos, de N), que es aleph 1. Así que tendría que pensar en cual de los dos está. Según en cual esté se podrá poner en biyección con uno o con otro.

[Landertxu]

Vale, ya lo he pensado. Es aleph 0 (tiene el cardinal de los naturales). Para verlo lo único que tenemos que hacer es ordenarlos, de forma que haya un primero, y que todos tengan un anterior y un posterior. Si lo ordenamos así esta claro que podemos hacer una biyección con los naturales. El orden será: en primer lugar la suma. Uno que sume más estará después en la lista que uno que sume menos. En caso de empate, acudimos al orden lexicográfico (alfabético). El que esté lexicográficamente antes irá antes en la lista. Así el orden sería: {}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {4}, {1,4}, {2,3}, {5}, {1,2,3}, {1,5}, {2,4}, {6}... hasta el infinito.

EDIT: Y sí, claro, se puede poner en biyección con un subconjunto propio. Por ejemplo, los singletons (conjuntos de un solo elemento). Al primer elemento de la lista le corresponde el {1}, al segundo le corresponde el {2}...

[Landertxu]

Landertxu
"El conjunto infinito de todos los subconjuntos exclusivamente finitos (que precisamente  por ser finitos no se pueden poner en biyección con alguno de sus superconjuntos), ¿se puede poner en biyección con alguno de sus propios subconjuntos?"

Si la respuesta es sí, te contradices.
Si la respuesta es no, ¿como es que dicho conjunto es infinito, si no existe un subconjunto propio con el cual pueda establecerse una biyección Landertxu?

Yo la verdad es que no veo contradicción por ningún lado. Ponemos en biyección cada elemento del conjunto infinito, sean dichos elementos conjuntos finitos o patatas.