Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos

[fegapa]

Landertxu
Decía yo:

"Así mismo, si el conjunto de todos los conjuntos (contradictorios y no contradictorios) encierra contradicciones, aunque solo sea en una parte de sí mismo, se vuelve inconsistente, por lo cual no puede aceptar conjuntos en sí mismos contradictorios, aunque tampoco puede evitarlo, pues lo que he dicho antes muestra que estos conjuntos existen o pueden existir dentro de la teoría de conjuntos."

Respondiste:

No todos los conjuntos existen en la teoría de conjuntos. El axioma de la regularidad descarta unos cuantos, y el que tú propones es uno de ellos.

Al decir: "el que tu propones" te estas refiriéndo a un solo conjunto.

¿A cual de ellos descarta el axioma de regularidad?

- ¿Al conjunto de todos los conjuntos? o

- Al conjunto al que me he estado refiriendo, que encierra puras contradicciones?

¿Existe algún otro axioma que descarte a éste último Landertxu?

Saludos

[Landertxu]

Al conjunto de todos los conjuntos.

El axioma de la regularidad dice que para todo conjunto (no vacío) existe un elemento tal que su intersección con el conjunto es nula. Una implicación (demostrada aquí)es que ningún conjunto se contiene a sí mismo. El conjunto de todos los conjuntos se contiene a sí mismo, ya que dicho conjunto es un conjunto. Contradicción.

[fegapa]

Landertxu

1. Dices:

Bueno, mi respuesta es "sí", a ver dónde está la trampa....

Si por "trampa" entiendes contradicción, hasta este momento no hay "trampa", simplemente estás aceptando en forma tácita que el conjunto de referencia es en sí mismo contradictorio. El problema viene en la respuesta que das a la siguiente pregunta (pues ambas están ligadas).

2.Decía yo:
 Ahora bien, si preguntamos:

El conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿lleva a contradicciones a la teoría de conjuntos, al reconocer ésta que existen dichos conjuntos (en sí mismos contradictorios)?
Si la respuesta es sí, aceptas tácitamente que lleva a contradicciones a dicha teoría, aunque parezca que no te contradices al reconocerlo.

Análogamente la respuesta debería ser también "sí".

¿Te das cuenta que acabas de reconocer que dichos conjuntos "llevan a la teoría de conjuntos a contradicciones" y por lo tanto ésta se vuelve inconsistente al incluirlos Landertxu?

Me llama mucho la atención que si vas a Wikipedia (la enciclopedia más acreditada de internet) y buscas ahí la definición de "conjunto", te encuentras de entrada con un gancho al hígado para dicha teoría.

Dice:
"Cualquier definición (de conjunto) dada hasta el momento esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones". Wikipedia

Aunque después hace algunas determinaciones, reconocimientos y conceptualizaciones diciendo:

"Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos". Wiki

Obviamente la teoría de conjuntos no puede descartar a todos los conjuntos que encierran contradicciones, pues si Wikipedia tiene razón en lo que afirma de entrada, habría entonces que descartarlos a todos.
Pero, ¿acaso la teoría de conjuntos es inmune a las contradicciones?

Si alguien reconocido (como Russell) presenta una sola contradicción o una paradoja, los matemáticos cierran filas, formalizando teorías y axiomas para neutralizarla, de ahí que surjan axiomas como el de regularidad en la axiomática de Zermelo-Fraenkel que, como afirmas, descarta "conjuntos que se contienen a sí mismos", (como los mencionados en esa paradoja de Russell), pero si Wikipedia está en lo cierto y "cualquier definición (de conjunto) dada hasta el momento esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones", obviamente la teoría presenta su talón de Aquiles.

¿O acaso puede haber alguna teoría que sea inmune a las contradicciones? Yo creo que no, y por lo pronto, tú acabas de reconocer implícitamente que la teoría de conjuntos es inconsistente, al aceptar que parte de sus propios conjuntos, en sí mismos contradictorios (que no son pocos), la llevan precisamente a contradicciones.

Saludos

[Landertxu]

La wikipedia dice que cualquier definición hecha con palabras (por ejemplo, "un grupo de cosas") da lugar a contradicciones lógicas, intuituvas, así que lo único que podemos hacer es definirla formalmente (si miras un poco más abajo pone: "No existe ninguna definición enteramente satisfactoria (excepto el subterfugio de definir un conjunto como cualquier objeto que verifique la axiomática de Zermelo-Fraenkel)" ). Es una axiomática que hasta ahora no ha dado contradicciones. La dada originalmente por Cantor, al no contener el axioma de regularidad, tenía al menos una contradicción. La actual se cree que es consistente, es decir, que no permite la existencia de ningún conjunto contradictorio. Si encuentras un conjunto que sí lo es entonces habrá que cambiar de nuevo la axiomática.

[fegapa]

Landertxu

1. Dices:

La wikipedia dice que cualquier definición hecha con palabras (por ejemplo, "un grupo de cosas") da lugar a contradicciones lógicas, intuituvas, así que lo único que podemos hacer es definirla formalmente (si miras un poco más abajo pone: "No existe ninguna definición enteramente satisfactoria (excepto el subterfugio de definir un conjunto como cualquier objeto que verifique la axiomática de Zermelo-Fraenkel)" ). Es una axiomática que hasta ahora no ha dado contradicciones. La dada originalmente por Cantor, al no contener el axioma de regularidad, tenía al menos una contradicción. La actual se cree que es consistente, es decir, que no permite la existencia de ningún conjunto contradictorio. Si encuentras un conjunto que sí lo es entonces habrá que cambiar de nuevo la axiomática.

Decía yo:

Un conjunto cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿es en sí mismo contradictorio?

Bueno, mi respuesta es "sí", a ver dónde está la trampa....

Continué diciendo:
Ahora bien, si preguntamos:

El conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿lleva a contradicciones a la teoría de conjuntos, al reconocer ésta que existen dichos conjuntos (en sí mismos contradictorios)?
Si la respuesta es sí, aceptas tácitamente que lleva a contradicciones a dicha teoría, aunque parezca que no te contradices al reconocerlo.

A lo cual respondiste:

Análogamente la respuesta debería ser también "sí".

Te respondí:

¿Te das cuenta que acabas de reconocer que dichos conjuntos "llevan a la teoría de conjuntos a contradicciones" y por lo tanto ésta se vuelve inconsistente al incluirlos?

Dices que:

Si encuentras un conjunto que sí es (contradictorio) entonces habrá que cambiar de nuevo la axiomática

¿Que opinas?

Saludos

[Landertxu]

No se puede establecer un conjunto como la unión de conjuntos que no existen. Los conjuntos contradictorios no existen, así que el conjunto que propones tampoco. No puedes idear un conjunto contradictorio a partir de otros conjuntos contradictorios, primero tienes que demostrar que dichos conjuntos contradictorios existen.

[fegapa]

Landertxu

Dices:

No se puede establecer un conjunto como la unión de conjuntos que no existen. Los conjuntos contradictorios no existen, así que el conjunto que propones tampoco. No puedes idear un conjunto contradictorio a partir de otros conjuntos contradictorios, primero tienes que demostrar que dichos conjuntos contradictorios existen.

Correcto Landertxu, trataré de demostrar que existen, obviamente no va a ser fácil encontrarlo, pero de todas formas voy a intentar algo:

En tu M: del 19 Ago dices:

Podemos definir lo que queramos. Yo ahora voy a definir la operación "casita"... y das una definición
que incluye "Un natural, un Complejo y un equipo de futbol..."

Ahora yo voy a intentar presentar uno o dos conjuntos de puras contradicciones interrelacionadas basándome en una paradoja del griego Eubulides de Mileto Wikipedia*.


1. Si formamos un conjunto y cada uno de sus elementos es una frase o una oración progresivamente numerada (para diferenciarlos) y ésta oración es la siguiente:

"Ésta oración cuyo número es 1, es falsa":  este  es el primer elemento de dicho conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta oración cuyo número es 2, es falsa": este es el segundo elemento del conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta oración cuyo número es 3, es falsa": este es el tercer elemento del conjunto,
y así sucesivamente... con tendencia a infinito.

Cada una de las oraciones es contradictoria pues afirma ser falsa y si esto que afirma es verdadero, sería al mismo tiempo verdadero y falso. Contradicción

Y si lo que afirma es falso, quiere decir que la oración es verdadera, por lo cual también sería simultáneamente verdadero y falso. Contradicción.

Como puedes ver, cada elemento se diferencía de los demás por el número que le corresponde y como la oración que encierra es en sí misma contradictoria, cada elemento del conjunto es por lo tanto contradictorio.

Aquí tienes pues un conjunto que encierra puras contradicciones relacionadas unas con otras, en virtud de que tienen un factor común (todas sus oraciones afirman ser falsas), por lo cual el conjunto es en sí mismo contradictorio o ¿existe algún axioma que lo descarte expresamente? 

Recuerda que te pregunté en M:101

¿Un conjunto cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿es en sí mismo contradictorio?

A lo cual respondiste en M:104

"Bueno, mi respuesta es "sí" , a ver dónde está la trampa..."

¿Que opinas?

2. OK creo que encontré otro conjunto más, que encierra puras contradicciones:

-Esta oración cuyo número es 1, es verdadera y la siguiente tambíen lo es: Este es el primer elemento del conjunto.

-Esta oración cuyo número es 2, es verdadera y la siguiente también lo es, pero la anterior es falsa: Este es el segundo elemento del conjunto.

-Esta oración cuyo número es 3, es verdadera y la siguiente también lo es, pero la anterior es falsa: Este es el tercer elemento del conjunto y las siguientes oraciones cuyo número es progresivo dicen exactamente lo mismo que la 2 y la 3, a excepción del número progresivo que las identifica y las diferencía.

Como todas y cada una están en relación con la inmediata que le sigue y a partir de la número 2, también con la inmediata que precede a cada una, todas y cada una son por lo tanto contradictorias y están interrelacionadas, por lo cual el conjunto que las encierra, de acuerdo con lo ya visto, es en sí mismo, contradictorio.

Saludos


*Eubulides de Mileto: "Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?"
Wikipedia: "Paradoja del mentiroso" http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_mentiroso

[fegapa]

Landertxu

Añadí algo al final del mensaje anterior, que me parece importante, por si quieres hecharle un vistazo.

Saludos

[Landertxu]

Bueno, yo en realidad considero un conjunto contradictorio con la axiomática ZF si hay un elemento que está y no está incluido a la vez en dicho conjunto. Realmente nunca he visto un conjunto de proposiciones, no sé si será posible hacer. Se puede hacer de naturales (ya que están definidos por la misma axiomática ZF), reales (definidos por otra axiomática) y otros conjuntos similares, así como de aquellos con los que se puede establecer una biyección con otros conocidos (una lista de equipos de fútbol, según la cual se puede establecer una biyección con los naturales del 1 al 22, o los complejos, que no son más que una pareja de reales). Aun así, a pesar de lo que haya dicho antes, considero que para demostrar que una axiomática es contradictoria habría que demostrar que de principios válidos podemos llegar a conclusiones falsas (como el de a no pertenece a a), ya que es bien sabido que de premisas falsas podemos llegar a conclusiones falsas. No sé exactamente qué pasa con un conjunto de proposiciones contradictorias, pero supongo que los matemáticos lo habrán tenido en cuenta. En cuanto a tu segundo conjunto, no es exactamente un conjunto, sino una sucesión (ya que los elementos están ordenados), que no es lo mismo.

Aun así creo que nos estamos alejando del tema de los infinitos, de lo que trataba inicialmente el post.

[fegapa]

Landertxu

A lo mejor lo que menciono está totalmente fuera del campo de la teoría de conjuntos y de la matemática misma, si es así regresamos al tema original de los infinitos, pero quiero tener claro un par de puntos:

¿Cual es la definición de "conjunto" que consideras válida?
Si defines un conjunto como "cualquier objeto que verifique la axiomática de Zermelo-Fraenkel" (M:108)
¿Cual es el axioma de ZF que descarta conjuntos de proposiciones contradictorias? o ¿dichas proposiciones están totalmente fuera del contexto de la matemática y del tema que estamos tratando?

Saludos

[fegapa]

Landertxu

Parece que cometí un serio error al caer en lo mismo que censuro.

Una contradicción que tiene que ver con lógica formal, es decir, que se da al manejar conceptos relacionados con cuestiones lógicas, es cualitativamente diferente de una contradicción que se desprende del manejo de la lógica de números, en ese sentido parece que las contradicciones que menciono en el M:111 están fuera de lugar y caen precisamente en lo mismo que he atacado, es decir, no es válido mezclar y comparar elementos de realidades heterogéneas.

Sin embargo, en repetidas ocasiones has comentado que el infinito (léase: "números" transfinitos de Cantor) no son números, sino conceptos, que surgen como resultado de una serie de axiomas-definiciones propias de la matemática moderna y de lo cual se desprende que rebasan el ámbito de los números de la aritmética tradicional con los cuales puedes realizar operaciones y como para demostrar que una axiomática es contradictoria, como dices, "habría que demostrar que de principios válidos podemos llegar a conclusiones falsas (como el de a no pertenece a a)", continuaré pues buscando conjuntos contradictorios (matemáticamente hablando).

Para poder tener más elementos en ésta búsqueda quisiera analizar algo que te pregunté en M:50 Landertxu

Decía yo refiriéndome a conjuntos y subconjuntos teóricamente infinitos:

"Si no hay distinción entre el todo y la parte o lo que es lo mismo, si no hay diferencia entre el conjunto y el subconjunto ¿por que afirmas que aquel "contiene" a éste?"

Respondiste en M:51:

Pues que podemos hacer una inyección no exhaustiva que hace corresponder a cada elemento de un conjunto aquel elemento que sea igual en el otro conjunto. Así podemos definir subconjunto. Pasa que un subconjunto puede tener el mismo cardinal que el conjunto que lo contiene.

Te pregunté en M:52

"Pero una inyección no exhaustiva es una aplicación inyectiva, ¿no es así?"

Respondiste en M:53

Sí. Existe una aplicación inyectiva "especial" (a cada elemento le asigna un elemento igual que él), pero también existe una biyección.

¿Me podrías poner un ejemplo de esta aplicación inyectiva "especial" (no exhaustiva) en combinación con la biyección (necesariamente exhaustiva) que mencionas?

Aunque como dije inicialmente, creo que cometí un error al incluir dichas proposiciones contradictorias por pertenecer a un campo diferente al de la matemática, pudiera ser que esté equivocado y no sea éste el caso, si esto es así, la correción que hago en este mensaje sería la que está fuera de lugar.

Espero tus comentarios.
Saludos

[Landertxu]

No sé si es correcto o falso. Sólo dije que no lo había visto nunca, que nunca he tratado con ese tipo de conjuntos, y que no sé si está bien hecho. Yo supongo que no pasa nada por crear un conjunto de contradicciones, no habrá que volver a comprobar la axiomática de conjuntos por eso. Pero tampoco voy a poner la mano en el fuego. Con respecto a las aplicaciones:

Si tenemos el clásico conjunto de los naturales y el de los pares, podemos tomar una aplicación inyectiva llamada Identidad, que hace corresponer a cada elemento ese mismo elemento. Esa aplicación va del conjunto de los pares al conjunto de los naturales. Si existe esa aplicación, decimos que un conjunto es subconjunto del otro (estricto si la aplicación no es exhaustiva). Por tanto los pares son un subconjunto de los naturales (otra forma de verlo es que para cada par podemos encontrar un natural que es igual que él). En cambio podemos hacer una biyección, la típica de n-->2n, que hace corresponder a cada natural un par, y a cada par un natural. Esto nos indica que el conjunto de los pares es subconjunto de los naturales, pero a pesar de todo tienen el mismo cardinal. Es lo que en lenguaje coloquial (y en parte incorrecto) significa que el todo no siempre es mayor que sus partes.

[fegapa]

Landertxu

Dices:

No sé si es correcto o falso. Sólo dije que no lo había visto nunca, que nunca he tratado con ese tipo de conjuntos, y que no sé si está bien hecho. Yo supongo que no pasa nada por crear un conjunto de contradicciones, no habrá que volver a comprobar la axiomática de conjuntos por eso. Pero tampoco voy a poner la mano en el fuego.

Correcto Landertxu, gracias por tu comentario. Como, a juzgar por tus mensajes, seguramente eres matemático y te mueves en un ambiente relacionado con estos temas, ojalá pudieras investigar si es correcto o falso lo que comento en M:111, total si es falso no pasa nada, pero si es correcto, tú formas parte de ésto.

No sé si estés de acuerdo con lo siguiente: 

Para tratar de evitar la inclusión de elementos extraños a la matemática  y partiendo del hecho de que las proposiciones analíticas no solamente son aceptadas en matemáticas, sino que son parte fundamental de éstas, podemos hacer algunos cambios al M:111 substituyendo el término "oración" ahí mencionada, por el de "proposición analítica" pues creo que el primero mete ruido debido a que, al contrario de las proposiciones analíticas, en muchas oraciones el predicado no está contenido en el sujeto, y por lo tanto, no puedes llegar con ellas a las mismas conclusiones.

Considerando entonces que:

1. "Se denomina proposición analítica a aquella proposición en la que el contenido del predicado se encuentra incluido en la noción del sujeto" Wikipedia

2. "El principio de no contradicción establece que toda proposición idéntica o analítica (es decir, toda proposición en la que la noción del predicado está contenida en el sujeto) es verdadera, y su contradictoria es falsa... Así pues, el principio de no contradicción nos permite juzgar como falso lo que encierra contradicción." Wikipedia

No obstante, aunque la oración incluída en M:111 pudiera ser de hecho una proposición analítica, creo que vale la pena hacer el intercambio de términos antes señalado, ya que que de esta forma queda más limpio y podremos lograr un mejor resultado. Quedaría entonces así:

"Ésta proposición analítica cuyo número es 1, es falsa":  este  es el primer elemento de dicho conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta proposición analítica cuyo número es 2, es falsa": este es el segundo elemento del conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta proposición analítica cuyo número es 3, es falsa": este es el tercer elemento del conjunto,

y así sucesivamente... con tendencia a infinito.

Cada una de las proposiciones analíticas (PA) es contradictoria pues afirma ser falsa y si esto que afirma es verdadero, sería al mismo tiempo verdadero y falso. Contradicción

Y si lo que afirma es falso, quiere decir que la PA es verdadera, por lo cual también sería simultáneamente verdadero y falso. Contradicción.

Cada elemento se diferencia de los demás por el número que le corresponde y como la PA que encierra es en sí misma contradictoria, cada elemento del conjunto es por lo tanto contradictorio.

Aquí tenemos un conjunto que encierra puras contradicciones relacionadas unas con otras, en virtud de que tienen un factor común (todas sus proposiciones analíticas afirman ser falsas), por lo cual se deduce que el conjunto es en sí mismo contradictorio a menos que exista algún axioma que lo descarte expresamente.

Seguiré contestando lo relativo a las aplicaciones en el próximo mensaje.

Un afectuoso saludo

[fegapa]

Landertxu
Continúo respondiendo tu M: del 26 ago

Dices:

Si tenemos el clásico conjunto de los naturales y el de los pares, podemos tomar una aplicación inyectiva llamada Identidad, que hace corresponer a cada elemento ese mismo elemento. Esa aplicación va del conjunto de los pares al conjunto de los naturales. Si existe esa aplicación, decimos que un conjunto es subconjunto del otro (estricto si la aplicación no es exhaustiva). Por tanto los pares son un subconjunto de los naturales (otra forma de verlo es que para cada par podemos encontrar un natural que es igual que él). En cambio podemos hacer una biyección, la típica de n-->2n, que hace corresponder a cada natural un par, y a cada par un natural. Esto nos indica que el conjunto de los pares es subconjunto de los naturales, pero a pesar de todo tienen el mismo cardinal. Es lo que en lenguaje coloquial (y en parte incorrecto) significa que el todo no siempre es mayor que sus partes.

Si primero haces una inyección en un CI de naturales "que hace corresponder a cada elemento, ese mismo elemento del CI de pares" y esta va del CI de pares al de naturales y después pretendes establecer una biyección entre ambos ¿si estamos hablando de CIs como puedes estar seguro que la primera (la inyección) no es exhaustiva y la segunda (la biyección) sí lo es?
Para saberlo con seguridad deberías poder contemplar la totalidad de los emparejamientos y no solo una parte de ellos, Petrus decía algo similar.
Si tomamos solo una parte de elementos de ambos conjuntos, tanto en la inyección como en la biyección van quedando elementos remanentes y dichos remanentes proyectados al infinito se vuelven infinitos.

Si me dijeras que por simple lógica sabemos que la inyección no es exhaustiva, pues cada par del conjunto de pares va a un par idéntico a él del conjunto de naturales y nunca a un non, y por lo tanto todos los nones de este conjunto quedarán fuera de los emparejamientos, te diría que aplicando la misma lógica, podemos saber que la única forma de que no queden elementos remanentes (fuera de los emparejamientos) cuando pongas en correspondencia todos y cada uno de los elementos de ambos conjuntos es que la combinación sea de 2-1, pues si esta es 1-1, desde el principio empiezan a existir elementos desfasados.
 
Observa la combinación (2-1):
 
1y2 con el 2,    3y4 con el 4,        5y6 con el 6,      7y8  con el 8, ... etc.  (Aquí no hay desfasamientos o elementos rezagados en ningún conjunto.)

Ahora observa la combinación (1-1).

1 con el 2,       2-4,    3-6,     4-8, ...  etc.    (Aquí en el cuarto emparejamiento ya tenemos un desfase de 4 elementos que van rezagados en el conjunto de naturales). Si proyectamos este desfasamiento al infinito tendremos una tendencia infinita de números naturales rezagados con respecto al conjunto de pares, por lo cual no es lógico suponer que la correspondencia entre ambos conjuntos sea exhaustiva. (Ver también M:25).

Si me dijeras que cada número natural puede ponerse en correspondencia con su doble, te diría que es correcto, pero con cada emparejamiento se producirá un rezago y esto también es correcto, y dicho rezago no es aparente, es real, ésto se ve más fácilmente si lo haces en forma ordenada y progresiva (como lo hice arriba), por lo cual únicamente podremos saber que se trata de una aplicación exhaustiva, si la contemplamos en su totalidad y no en forma parcial. Petrus pone en M:22 un excelente ejemplo ("del elefante hindú y sus examinadores ciegos") que es aplicable a ésto mismo, aunque, como en éste caso el conjunto y sus subconjuntos son infinitos, va a ser un tanto difícil contemplar la totalidad de los emparejamientos, por lo cual, basándonos en lo que afirmaba Petrus, el método de aplicaciones no es el adecuado para llegar a conclusiones correctas cuando se trata de relacionar y diferenciar tamaños de CIs y SCIs.

¿Que opinas?

Saludos cordiales
 

[Landertxu]

Landertxu

Dices:

No sé si es correcto o falso. Sólo dije que no lo había visto nunca, que nunca he tratado con ese tipo de conjuntos, y que no sé si está bien hecho. Yo supongo que no pasa nada por crear un conjunto de contradicciones, no habrá que volver a comprobar la axiomática de conjuntos por eso. Pero tampoco voy a poner la mano en el fuego.

Correcto Landertxu, gracias por tu comentario. Como, a juzgar por tus mensajes, seguramente eres matemático y te mueves en un ambiente relacionado con estos temas, ojalá pudieras investigar si es correcto o falso lo que comento en M:111, total si es falso no pasa nada, pero si es correcto, tú formas parte de ésto.

No sé si estés de acuerdo con lo siguiente: 

Para tratar de evitar la inclusión de elementos extraños a la matemática  y partiendo del hecho de que las proposiciones analíticas no solamente son aceptadas en matemáticas, sino que son parte fundamental de éstas, podemos hacer algunos cambios al M:111 substituyendo el término "oración" ahí mencionada, por el de "proposición analítica" pues creo que el primero mete ruido debido a que, al contrario de las proposiciones analíticas, en muchas oraciones el predicado no está contenido en el sujeto, y por lo tanto, no puedes llegar con ellas a las mismas conclusiones.

Considerando entonces que:

1. "Se denomina proposición analítica a aquella proposición en la que el contenido del predicado se encuentra incluido en la noción del sujeto" Wikipedia

2. "El principio de no contradicción establece que toda proposición idéntica o analítica (es decir, toda proposición en la que la noción del predicado está contenida en el sujeto) es verdadera, y su contradictoria es falsa... Así pues, el principio de no contradicción nos permite juzgar como falso lo que encierra contradicción." Wikipedia

No obstante, aunque la oración incluída en M:111 pudiera ser de hecho una proposición analítica, creo que vale la pena hacer el intercambio de términos antes señalado, ya que que de esta forma queda más limpio y podremos lograr un mejor resultado. Quedaría entonces así:

"Ésta proposición analítica cuyo número es 1, es falsa":  este  es el primer elemento de dicho conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta proposición analítica cuyo número es 2, es falsa": este es el segundo elemento del conjunto,

a continuación el siguiente:
"Esta proposición analítica cuyo número es 3, es falsa": este es el tercer elemento del conjunto,

y así sucesivamente... con tendencia a infinito.

Cada una de las proposiciones analíticas (PA) es contradictoria pues afirma ser falsa y si esto que afirma es verdadero, sería al mismo tiempo verdadero y falso. Contradicción

Y si lo que afirma es falso, quiere decir que la PA es verdadera, por lo cual también sería simultáneamente verdadero y falso. Contradicción.

Cada elemento se diferencia de los demás por el número que le corresponde y como la PA que encierra es en sí misma contradictoria, cada elemento del conjunto es por lo tanto contradictorio.

Aquí tenemos un conjunto que encierra puras contradicciones relacionadas unas con otras, en virtud de que tienen un factor común (todas sus proposiciones analíticas afirman ser falsas), por lo cual se deduce que el conjunto es en sí mismo contradictorio a menos que exista algún axioma que lo descarte expresamente.

Seguiré contestando lo relativo a las aplicaciones en el próximo mensaje.

Un afectuoso saludo

De todas formas sigo sin ver la necesidad de crear un conjunto infinito de ese tipo. Con el simple conjunto {"Esta proposición es falsa"} ya tendrías suficiente para ilustrar lo que dices. Y en fin, creo que la axiomática ZF sólo habla de conjuntos, y de conjuntos de conjuntos, partiendo de la base de que hay un conjunto vacío, y de que los naturales se pueden considerar también conjuntos. También se pueden hacer por analogía conjuntos de reales, siendo los reales elementos de una axiomática bien definida, y según se ve, conjunto de proposiciones, siempre que las proposiciones también estén bien definidas. En este caso de todas formas hablar de un conjunto de proposiciones contradictorias me parece que no tiene demasiado interés. Es como hablar de un conjunto de reales negativos, o de naturales impares. Las proposiciones contradictorias son aquellas que son una proposición, y que cumplen que son contradictorias, como podrían cumplir que son largas o cortas o que tiene un número especial de símbolos de un tipo. Me parece que no contradecimos la axiomática de conjuntos de esta forma.

Si primero haces una inyección en un CI de naturales "que hace corresponder a cada elemento, ese mismo elemento del CI de pares" y esta va del CI de pares al de naturales y después pretendes establecer una biyección entre ambos ¿si estamos hablando de CIs como puedes estar seguro que la primera (la inyección) no es exhaustiva y la segunda (la biyección) sí lo es?

Ver que no es exhaustiva es muy fácil. Basta con encontrar un elemento del conjunto de los naturales que no sea par. Da igual que los conjuntos sean infinitos. Para ver que la segunda sí que lo es, aunque sean conjuntos infinitos lo que se hace en estos casos es "tomar un elemento cualquiera". Sea n un elemento cualquiera del conjunto de los naturales. Lo multiplicamos por dos y da un par. Y resulta que dividiendo entre dos ese par obtendremos n, por lo que la aplicación de ese par da el elemento n que buscábamos. Como funciona para un n cualquiera, lo hemos demostrado pese a que el conjunto es infinito.

Para saberlo con seguridad deberías poder contemplar la totalidad de los emparejamientos y no solo una parte de ellos

Bueno, no hace falta contemplar la totalidad. Si demuestras que elijas el emparejamiento que elijas va a dar, entonces sabes que dará pese a no elegirlos todos.

Si me dijeras que por simple lógica sabemos que la inyección no es exhaustiva, pues cada par del conjunto de pares va a un par idéntico a él del conjunto de naturales y nunca a un non, y por lo tanto todos los nones de este conjunto quedarán fuera de los emparejamientos, te diría que aplicando la misma lógica, podemos saber que la única forma de que no queden elementos remanentes (fuera de los emparejamientos) cuando pongas en correspondencia todos y cada uno de los elementos de ambos conjuntos es que la combinación sea de 2-1, pues si esta es 1-1, desde el principio empiezan a existir elementos desfasados.

Pues no. Tú dices que esa es la única forma (por supuesto sin demostrarlo). Yo te digo que hay más formas: Rompiendo los emparejamientos y creando otros nuevos. Y esto sí está probado.
 

Observa la combinación (2-1):
 
1y2 con el 2,    3y4 con el 4,        5y6 con el 6,      7y8  con el 8, ... etc.  (Aquí no hay desfasamientos o elementos rezagados en ningún conjunto.)

Ahora observa la combinación (1-1).

1 con el 2,       2-4,    3-6,     4-8, ...  etc.    (Aquí en el cuarto emparejamiento ya tenemos un desfase de 4 elementos que van rezagados en el conjunto de naturales). Si proyectamos este desfasamiento al infinito tendremos una tendencia infinita de números naturales rezagados con respecto al conjunto de pares, por lo cual no es lógico suponer que la correspondencia entre ambos conjuntos sea exhaustiva. (Ver también M:25).

El concepto de "rezagado" es bastante poco formal, ¿no crees? Aunque a ti te parezca que nunca se van a completar, puedes comprobar como una vez están realizados los emparejamientos, ningún natural se queda fuera de ellos.

Si me dijeras que cada número natural puede ponerse en correspondencia con su doble, te diría que es correcto, pero con cada emparejamiento se producirá un rezago y esto también es correcto, y dicho rezago no es aparente, es real, ésto se ve más fácilmente si lo haces en forma ordenada y progresiva (como lo hice arriba), por lo cual únicamente podremos saber que se trata de una aplicación exhaustiva, si la contemplamos en su totalidad y no en forma parcial. Petrus pone en M:22 un excelente ejemplo ("del elefante hindú y sus examinadores ciegos") que es aplicable a ésto mismo, aunque, como en éste caso el conjunto y sus subconjuntos son infinitos, va a ser un tanto difícil contemplar la totalidad de los emparejamientos, por lo cual, basándonos en lo que afirmaba Petrus, el método de aplicaciones no es el adecuado para llegar a conclusiones correctas cuando se trata de relacionar y diferenciar tamaños de CIs y SCIs.

Al revés. El ver que hay un presunto "rezago" es una herramienta no apropiada cuando tratamos de comparar conjuntos infinitos, como se ha visto, ya que la aplicación está probado que es exhaustiva.