Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos

[Landertxu]

Según esto me vas a dar  dos definiciones de número:
Una que considere que la definición de cardinalidad infinita es un número y otra que considere que no lo es. Ya de entrada suena contradictorio Landertxu, pues es un número o no lo es, pero no puede serlo y no serlo al mismo tiempo y desde el mismo punto de vista, salvo que decidas hechar por la borda el principio de no contradicción.

El cardinal infinito es una única cosa. Según la definición que elijas de número te da que el infinito es un número o no lo es. No hay ninguna contradicción en definir alegremente. Si quieres para no tocar la matemática ya construida inventamos dos nuevos conceptos: el "numro" y el "nmero". Definimos numro como un elemento del conjunto de los complejos (por dar el conjunto de números más grande utilizado habitualmente), sobre el que se puede operar, y definimos nmero como el conjunto de los numros y los infinitos. Sobre los numros no están bien definidas todas las operaciones. Ahora resulta que el infinito es un nmero pero no un numro. A mí me gusta trabajar con la definición número=numro, pero si prefieres la de número=nmero también podemos trabajar. Todo consiste en acordar una definición y demostrar cosas a partir de ella.

Pero "aleph 0" ¿es un nombre o una definición?

Es un cardinal. Lo definimos como el cardinal del conjunto de los números naturales.

Y en relación a esto:

¿La misma que...? ¿la misma biyección?. Pero ¿un cardinal es una biyección?

El mismo cardinal quería decir. La misma cardinalidad se me pasaba por la cabeza cuando lo estaba escribiendo.

No usas la palabra número, sin embargo haces referencia a ellos (a los números) utilizándolos en tu definición, el 0 es un número... y un o uno más, es el nombre de otro.
Sin embargo en conjuntos con cardinalidad finita no hay contradicción al hacer referencia a los números, únicamente hay problema con la definición de cardinalidad infinita al considerar ésta como un número (finito).

Pues definimos un conjunto: El conjunto de cardinales. Está formado por todos los números naturales y por el conjunto de aleph n, donde n es un número natural (suponemos la hipótesis del continuo, es decir, que no existe ningún aleph 1.5 por ejemplo). Definimos la aplicación "número de elementos", que hace corresponder a cada conjunto un cardinal de la forma explicada anteriormente.

[fegapa]

Landertxu

1. Dices:

El cardinal infinito es una única cosa. Según la definición que elijas de número te da que el infinito es un número o no lo es. No hay ninguna contradicción en definir alegremente. Si quieres para no tocar la matemática ya construida inventamos dos nuevos conceptos: el "numro" y el "nmero". Definimos numro como un elemento del conjunto de los complejos (por dar el conjunto de números más grande utilizado habitualmente), sobre el que se puede operar, y definimos nmero como el conjunto de los numros y los infinitos. Sobre los numros no están bien definidas todas las operaciones. Ahora resulta que el infinito es un nmero pero no un numro. A mí me gusta trabajar con la definición número=numro, pero si prefieres la de número=nmero también podemos trabajar. Todo consiste en acordar una definición y demostrar cosas a partir de ella.

.

Dices primero que sobre el conjunto de los numros "se puede operar" y después afirmas que "sobre los numros no están bien definidas todas las operaciones". Pero ¿como "se puede operar" sobre ellos, si "no están bien definidas todas las operaciones"? Contradicción

Por otro lado, si tu intención es definir "cardinal infinito" como número (con el cual se pueden realizar operaciones), dicho número es finito, luego si el el infinito es un número finito, el infinito es finito. Contradicción

Si defines "cardinal infinito" como un "número" (sobre el cual no están definidas las operaciones), se trata de un "número" indefinido, que no es propiamente un número*. Me imagino que a eso te refieres con "nmro". (Sobre este punto ver siguiente mensaje).

"Número:entidad abstracta que representa una magnitud" Wiki

Habías dicho:

Cita de: Landertxu en Julio 31, 2008, 08:42:44

No creo que deba importar para la discursión que unos lo llamen número y otros no, pero el infinito no es un número...Por tanto lo mejor es trabajar suponiendo que los infinitos no son números como tales, simplemente cardinales, que pueden definir el número de elementos de un conjunto.

Estoy de acuerdo en que el infinito no puede ser un número como tal, pero te contradices al afirmar que "es un cardinal que puede definir el número de elementos de un conjunto". Particularmente si para dicho "número" no están definidas las operaciones (ver M:92 puesto a continuación).

Si dices, como lo haces en el punto siguiente (2.) que Aleph 0 es "el cardinal de los números naturales" y habías dicho que los cardinales "pueden definir el número de elementos de un conjunto" (ver párrafo anterior), entonces queda que Aleph 0 es el cardinal que indica o "puede definir"el  número de elementos del conjunto (infinito) de los números naturales" con lo cual no puedes afirmar sin contradecirte, que no es un número, puesto que implícitamente estás afirmando que lo es, ya que en este caso "definir" es indicar dicho número de elementos.

Wiki:
"El cardinal indica el número o cantidad de los elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o no finita"

2. En relación a lo anterior dices:
Cita de: Landertxu en Agosto 03, 2008, 02:20:28

Ya te digo que prefiero trabajar con la que no considera al infinito un número. Si quieres podemos definir cardinal sin usar la palabra "número" (de elementos) cuando es infinito...El cardinal de los números naturales es aleph 0, el cardinal de las partes de aleph n es aleph n+1, y el cardinal de dos conjuntos con los cuales puedas establecer una biyección es la misma (cardinalidad).

[/b]

Sobre los alephs ya comenté y sobre la definición de cardinalidad infinita dices:

"El cardinal de dos conjuntos con los cuales puedas establecer una biyección es la misma (cardinalidad)"... como que falta decir, (para ambos conjuntos).

Es aplicable a cardinalidades de conjuntos finitos, pero no a cardinales infinitos pues no se puede establecer una función sobreyectiva (necesaria para establecer la biyección) entre CIPs y si se consideran como CIAs encierran contradicciones, sobre esto me ampliaré en uno o dos mensajes más.

Saludos

[fegapa]

Landertxu

Corregi  el sexto párrafo del mensaje anterior empezando de abajo que inicia con: "Si dices, como lo haces en el punto siguiente (2.)" ... la corrección permite que se entienda mejor.

Y quisiera hacerte una pregunta:

Si defines "cardinal infinito" como un "número" (sobre el cual no están definidas las operaciones), se trataría de un "número" indefinido, que no sería propiamente un número.

En este caso no puedes dividir dicho cardinal (puesto que no está definida para él la operación de la división, es por lo tanto matemáticamente indivisible), y por ello ¿como podrías dividir matemáticamente el conjunto (al cual corresponde ese cardinal) en partes o en elementos sin incurrir en contradicciones?

El CI no puede ser dividido matemáticamente en partes ni elementos si su cardinal es matemáticamente indivisible, razón por la cual no puedes establecer biyecciones, pues para ello primero tienes que separar y por lo tanto dividir el CI en sus elementos y partes.
En consecuencia, ¿como puedes establecer una biyección entre el CI y sus SCIs?. Absurdo 

Y si es matemáticamente indivisible (en partes o elementos)  ¿como puede definir dicho cardinal el número de elementos del conjunto? Contradicción

Wiki:
"El cardinal indica el número o cantidad de los elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o no finita"

Estas son solo algunas de las contradicciones que mencionaba yo sobre los CIAs (conjuntos infinitos actuales).

Saludos

[Landertxu]

Dices primero que sobre el conjunto de los numros "se puede operar" y después afirmas que "sobre los numros no están bien definidas todas las operaciones". Pero ¿como "se puede operar" sobre ellos, si "no están bien definidas todas las operaciones"? Contradicción

Evidentemente me he hecho un lío. La segunda vez quería decir nmero. Pero creo que a pesar de ese fallo se entiende, ¿no?

Estoy de acuerdo en que el infinito no puede ser un número como tal, pero te contradices al afirmar que "es un cardinal que puede definir el número de elementos de un conjunto". Particularmente si para dicho "número" no están definidas las operaciones (ver M:92 puesto a continuación).

"Número de elementos" es la idea intuitiva. La definición formal es la que dije después. Que sea intuitivamente su "número de elementos" no quiere decir que sea un número sobre el que se pueda operar.

[Landertxu]

Landertxu

Corregi  el sexto párrafo del mensaje anterior empezando de abajo que inicia con: "Si dices, como lo haces en el punto siguiente (2.)" ... la corrección permite que se entienda mejor.

Y quisiera hacerte una pregunta:

Si defines "cardinal infinito" como un "número" (sobre el cual no están definidas las operaciones), se trataría de un "número" indefinido, que no sería propiamente un número.

En este caso no puedes dividir dicho cardinal (puesto que no está definida para él la operación de la división, es por lo tanto matemáticamente indivisible), y por ello ¿como podrías dividir matemáticamente el conjunto (al cual corresponde ese cardinal) en partes o en elementos sin incurrir en contradicciones?

El CI no puede ser dividido matemáticamente en partes ni elementos si su cardinal es matemáticamente indivisible, razón por la cual no puedes establecer biyecciones, pues para ello primero tienes que separar y por lo tanto dividir el CI en sus elementos y partes.
En consecuencia, ¿como puedes establecer una biyección entre el CI y sus SCIs?. Absurdo 

Y si es matemáticamente indivisible (en partes o elementos)  ¿como puede definir dicho cardinal el número de elementos del conjunto? Contradicción

Wiki:
"El cardinal indica el número o cantidad de los elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o no finita"

Estas son solo algunas de las contradicciones que mencionaba yo sobre los CIAs (conjuntos infinitos actuales).

Saludos

Aquí estamos definiendo "partes" como "subconjuntos". Es decir, conjuntos tales que todos sus elementos están contenidos en el "todo". Que "el todo es mayor que sus partes" (aunque sea falso) querría decir que un conjunto tiene más cardinal que sus subconjuntos propios. Que no se pueda dividir quiere decir que no se le puede aplicar la operación división, no que no se puedan tomar subconjuntos.

[fegapa]

Landertxu

Dices en M:93 y M:94

-Evidentemente me he hecho un lío. La segunda vez quería decir nmero. Pero creo que a pesar de ese fallo se entiende, ¿no?

-"Número de elementos" es la idea intuitiva. La definición formal es la que dije después. Que sea intuitivamente su "número de elementos" no quiere decir que sea un número sobre el que se pueda operar.

-Aquí estamos definiendo "partes" como "subconjuntos". Es decir, conjuntos tales que todos sus elementos están contenidos en el "todo". Que "el todo es mayor que sus partes" (aunque sea falso) querría decir que un conjunto tiene más cardinal que sus subconjuntos propios. Que no se pueda dividir quiere decir que no se le puede aplicar la operación división, no que no se puedan tomar subconjuntos.

A reserva de conocer tu opinión, creo que ya sé en que estriba el problema... el punto clave de toda esta discusión Landertxu.

Si tenemos en un extremo una realidad infinitesimal y en el otro una realidad infinita y pretendemos cruzar de una a otra tendiendo un puente a través de una realidad finita, únicamente podremos establecer la conección matemática con ambos extremos si en los tres casos las realidades (infinitesimal, finita e infinita) son homogéneas.

Si las diferencias entre dichas realidades fueran únicamente cuantitativas, no habría problema para lograr la conección entre ambos extremos, pudiendo establecer relaciones entre unas y otras, pero si por el contrario existe un salto radicalmente cualitativo entre ellas (como es el caso), no podremos realizar comparaciones ni relacionar matemáticamente tamaños que permitan diferenciarlas sobre una base común.

Creo que estamos de acuerdo en que no se puede comparar el tocino con la velocidad al ser ambas realidades radicalmente heterogéneas.

Si el "cardinal infinito" de un conjunto no es un número con el cual se puedan realizar operaciones, (lo cual significa que vgr. al sumarle o restarle uno o varios elementos no parece que le añades o le quitas nada pues el cardinal queda igual), y pretendemos compararlo con el de cualquier conjunto finito el cual sí es un número con el cual se pueden realizar operaciones que modifican dicho cardinal, si vgr. le sumas o le restas elementos o si tomas una parte queda de facto dividido al menos en dos conjuntos (un conjunto y un subconjunto), ya sea que quieras o no aplicarle la "operación división", el cardinal siempre cambia al sumar, restar, multiplicar o dividir con números mayores que cero (y en algunos casos cuando el número es cero), entonces aquí estamos hablando de realidades (finitas e infinitas) radicalmente heterogéneas que no pueden comparase entre sí.

Por otra parte, al tomar de un conjunto considerado infinito un elemento (el número uno es necesariamente finito), para ponerlo en biyección con un elemento (finito), perteneciente a un subconjunto propio considerado infinito (en cardinalidad) y repetir esta operación un número teóricamente infinito de veces, pretendiendo obtener conclusiones sobre propiedades y relaciones entre conjuntos y subconjuntos infinitos, mezclamos y comparamos realidades cualitativamente diferentes, por lo cual las conclusiones a las que pretendemos llegar son necesariamente falsas.

Lo que estamos haciéndo aquí, o más bien lo que hace Cantor, es poner en relación elementos pertenecientes a una realidad finita y dando un salto cualitativo  proyectarlos, sin más, hacia una realidad infinita, con lo cual pretende así conectar matemáticamente dos realidades heterogéneas (cuyas naturalezas son diferentes) y sin embargo llegar a conclusiones que solo pueden obtenerse con realidades homogéneas. Absurdo ¿estas de acuerdo Landertxu?

Por otro lado, si consideras que el concepto "número" (finito) no es necesario para definir el concepto de cardinal infinito (pues entran en contradicción) y Cantor o cualquiera pretende  "definirlo" como "primera letra del alfabeto hebreo seguida del subíndice numérico cero" (Aleph 0), da lo mismo si lo "definimos" como primera letra del alfabeto chino seguida de un jeroglífico esquimal, de todas formas nadie va a comprender lo que significa "cardinal infinito" si no hacemos, en última instancia, algún tipo de referencia a "número", "cantidad", "magnitud", "medida", "tamaño" o algún otro concepto relacionado que permita entender cuales son sus propiedades generales distintivas. Contra lo que pueda afirmar cualquiera que esté de acuerdo con Cantor (sea o no matemático) "Aleph 0" no es una definición, es una mera representación o un nombre. ¿No crees?

"Una definición es una proposición o conjunto de cosas que reúne las propiedades generales y diferenciadoras de algo material o inmaterial." (Wiki)

"El nombre es la denominación verbal que tiene una persona o que se le da a una cosa o a un concepto tangible o intangible, concreto o abstracto, para distinguirlo de otros." (Wiki)

Ojalá estés de acuerdo al menos en el punto esencial que aquí comento, existe un salto cualitativo entre las realidades "infinitesimal", "finita" e "infinita", por lo cual no pueden establecerse matemáticamente comparaciones entre ellas, ni llegar a conclusiones válidas sobre las propiedades de unas, basándonos en elementos y operaciones que son aplicables únicamente a otras.

Desde nuestra realidad finita podemos realizar "aproximaciones" a dichos extremos y de hecho el cálculo diferencial, antes llamado infinitesimal, ha sido de gran utilidad, pero el concepto de infinito que maneja es el "infinito potencial" que es en realidad un "finito con pretensiones" (Petrus), y no un "infinito actual", como el que maneja Cantor.

Saludos

[Landertxu]

Si tenemos en un extremo una realidad infinitesimal y en el otro una realidad infinita y pretendemos cruzar de una a otra tendiendo un puente a través de una realidad finita, únicamente podremos establecer la conección matemática con ambos extremos si en los tres casos las realidades (infinitesimal, finita e infinita) son homogéneas.

Si las diferencias entre dichas realidades fueran únicamente cuantitativas, no habría problema para lograr la conección entre ambos extremos, pudiendo establecer relaciones entre unas y otras, pero si por el contrario existe un salto radicalmente cualitativo entre ellas (como es el caso), no podremos realizar comparaciones ni relacionar matemáticamente tamaños que permitan diferenciarlas sobre una base común.

Bueno, tenemos la herramienta de que las partes del infinito equivale al infinitesimal.

Creo que estamos de acuerdo en que no se puede comparar el tocino con la velocidad al ser ambas realidades radicalmente heterogéneas.

El tocino con la velocidad no, pero esto sí se puede relacionar con las herramientas matemáticas adecuadas.

Si el "cardinal infinito" de un conjunto no es un número con el cual se puedan realizar operaciones, (lo cual significa que vgr. al sumarle o restarle uno o varios elementos no parece que le añades o le quitas nada pues el cardinal queda igual), y pretendemos compararlo con el de cualquier conjunto finito el cual sí es un número con el cual se pueden realizar operaciones que modifican dicho cardinal, si vgr. le sumas o le restas elementos o si tomas una parte queda de facto dividido al menos en dos conjuntos (un conjunto y un subconjunto), ya sea que quieras o no aplicarle la "operación división", el cardinal siempre cambia al sumar, restar, multiplicar o dividir con números mayores que cero (y en algunos casos cuando el número es cero), entonces aquí estamos hablando de realidades (finitas e infinitas) radicalmente heterogéneas que no pueden comparase entre sí.

Efectivamente a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos. Eso no quiere decir que no cumpla el resto de propiedades que se esperan de él.

Por otra parte, al tomar de un conjunto considerado infinito un elemento (el número uno es necesariamente finito), para ponerlo en biyección con un elemento (finito), perteneciente a un subconjunto propio considerado infinito (en cardinalidad) y repetir esta operación un número teóricamente infinito de veces, pretendiendo obtener conclusiones sobre propiedades y relaciones entre conjuntos y subconjuntos infinitos, mezclamos y comparamos realidades cualitativamente diferentes, por lo cual las conclusiones a las que pretendemos llegar son necesariamente falsas.

En realidad estamos comparando dos conjuntos infinitos, aunque sea término a término. Matemáticamente es todo legal.

Lo que estamos haciéndo aquí, o más bien lo que hace Cantor, es poner en relación elementos pertenecientes a una realidad finita y dando un salto cualitativo  proyectarlos, sin más, hacia una realidad infinita, con lo cual pretende así conectar matemáticamente dos realidades heterogéneas (cuyas naturalezas son diferentes) y sin embargo llegar a conclusiones que solo pueden obtenerse con realidades homogéneas. Absurdo ¿estas de acuerdo Landertxu?

No, no proyecta "sin más" hacia una realidad infinita. Lo que hace es definir el conjunto de los naturales como aquel que contiene el 0, y que si contiene un elemento contiene el siguiente. Ese conjunto existe y no da lugar a contradicciones (aunque sí da lugar a cosas indeseadas, como demostró gödel con su teorema de incompletitud, pero coherentes con las matemáticas al fin y al cabo).

Por otro lado, si consideras que el concepto "número" (finito) no es necesario para definir el concepto de cardinal infinito (pues entran en contradicción) y Cantor o cualquiera pretende  "definirlo" como "primera letra del alfabeto hebreo seguida del subíndice numérico cero" (Aleph 0), da lo mismo si lo "definimos" como primera letra del alfabeto chino seguida de un jeroglífico esquimal, de todas formas nadie va a comprender lo que significa "cardinal infinito" si no hacemos, en última instancia, algún tipo de referencia a "número", "cantidad", "magnitud", "medida", "tamaño" o algún otro concepto relacionado que permita entender cuales son sus propiedades generales distintivas. Contra lo que pueda afirmar cualquiera que esté de acuerdo con Cantor (sea o no matemático) "Aleph 0" no es una definición, es una mera representación o un nombre. ¿No crees?

Yo siempre he estudiado las matemáticas en primer lugar por las definiciones, y después tratando de relacionar lo estudiado con algún concepto de la realidad. Si quieres definir el cardinal como el "número de elementos" para hacernos una idea, vale, pero eso no quiere decir que un cardinal sea un número y se deba poder operar como los números.

"Una definición es una proposición o conjunto de cosas que reúne las propiedades generales y diferenciadoras de algo material o inmaterial." (Wiki)

"El nombre es la denominación verbal que tiene una persona o que se le da a una cosa o a un concepto tangible o intangible, concreto o abstracto, para distinguirlo de otros." (Wiki)

Y matemáticamente tenemos el conjunto de los Alephs, que es (definición) un conjunto igual que el de los naturales, el conjunto de los cardinales, que es (definición) el conjunto de los alephs más los naturales, y la aplicación cardinal, que va de un conjunto a un cardinal y que también se puede definir. Esas son las propiedades generales y diferenciadoras de lo que hemos visto hasta ahora, sus definiciones. Aunque nadie entienda para qué se aplican en la realidad, no dejan de ser conceptos bien definidos. Lo que no podemos hacer es definir algo por sus aplicaciones.

Ojalá estés de acuerdo al menos en el punto esencial que aquí comento, existe un salto cualitativo entre las realidades "infinitesimal", "finita" e "infinita", por lo cual no pueden establecerse matemáticamente comparaciones entre ellas, ni llegar a conclusiones válidas sobre las propiedades de unas, basándonos en elementos y operaciones que son aplicables únicamente a otras.

Lo siento pero no me has convencido. Son realidades diferentes pero sobre las que se pueden establecer ciertas relaciones bien definidas, así como se puede operar con el 2 y con el 3 sumándolos, siendo en cambio números diferentes.

[fegapa]

Landertxu
1. Dices:

Bueno, tenemos la herramienta de que las partes del infinito equivale al infinitesimal. .

Luego ¿el infinito es divisible en partes?

Al "tomar" una parte de él, de facto lo divides y de facto le restas esa parte al separarla del conjunto. Claro que esto pasa con conjuntos finitos... pero si de lo que has venido afirmando se desprende que no sucede así con conjuntos infinitos, pues al suprimirle una parte, no se la restas y al fraccionarlo para "tomar" una parte, no lo divides, implícitamente estás aceptando que se trata de realidades radicalmente heterogéneas y por lo tanto matemáticamente incomparables.

Además, si sobre el cardinal de un conjunto infinito no aplican operaciones matemáticas, obviamente no puedes operar matemáticamente sobre él. Pero entonces ¿como puedes determinarlo matemáticamente?

Para poder afirmar que: "las partes del infinito equivalen al infinitesimal" necesitas herramientas matemáticas que puedan determinar esa equivalencia, pero, ¿como puedes "operar" con dichas "herramientas" para determinar la equivalencia si los cardinales sobre los que vas a trabajar no son aptos para realizar operaciones matemáticas con ellos y por lo tanto no son matemáticamente determinables?

Las herramientas matemáticas pueden "operar" sobre números finitos afines a ellas, pero, ¿como pueden "operar" directamente sobre entidades infinitas no aptas para realizar operaciones?

2.Dices:

El tocino con la velocidad no, pero esto sí se puede relacionar con las herramientas matemáticas adecuadas.

Aplica la misma respuesta del punto anterior.

3. Dices:

Efectivamente a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos. Eso no quiere decir que no cumpla el resto de propiedades que se esperan de él.

Correcto Landertxu, finalmente parece que hablamos el mismo lenguaje, si "a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos" como dices, es precisamente porque en cada una de dichas realidades (finita e infinita) "se cumplen distintas propiedades" que las hacen heterogéneas... precisamente por eso son incompatibles y por lo tanto, como afirmas, "no se pueden aplicar las mismas operaciones" para unos y otros.

Sin embargo esto que dices va en contradicción con lo que afirmas a continuación.

4. Dices:

En realidad estamos comparando dos conjuntos infinitos, aunque sea término a término. Matemáticamente es todo legal.

Comparar conjuntos "término a término" partiendo de una realidad finita y proyectando o extrapolando dicha comparación, sin más, hacia una realidad infinita es dar un salto cualitativo, pretendiendo mezclar y comparar dos realidades radicalmente heterogéneas. ¿No acabas de afirmar en el punto anterior que "a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos"? ¿La aplicación biyectiva no fué inicialmente pensada por el propio Cantor para medir tamaños de conjuntos finitos?

Continúo en el próximo mensaje

[fegapa]

Landertxu continúo respondiendo tu M:96

5. Dices:

No, no proyecta "sin más" hacia una realidad infinita. Lo que hace es definir el conjunto de los naturales como aquel que contiene el 0, y que si contiene un elemento contiene el siguiente. Ese conjunto existe y no da lugar a contradicciones (aunque sí da lugar a cosas indeseadas, como demostró gödel con su teorema de incompletitud, pero coherentes con las matemáticas al fin y al cabo).

El primer error en esta definición que das se genera al pretender dar un salto cualitativo entre dos realidades heterogéneas, mezclando elementos de ambas como si se tratara de realidades homogéneas para presuntamente "definir" lo indefinido (infinito).

Vgr. Tu afirmación sobre la "definición" del conjunto infinito de naturales que "contiene al cero y que si contiene un elemento contiene el siguiente",  supongo que te refieres al "siguiente" como "uno más".
Simplemente en este párrafo acabas de hacer referencia en tres ocasiones a números finitos, el "cero", el "uno" y "el siguiente" que debe ser necesariamente finito (pues su predecesor y el número que le añades para obtener el nuevo número, también lo son), de esta forma, aunque quieras proyectar esta sucesión númerica al infinito jamás lograrás rebasar la barrera cualitativa que separa las dos realidades (finita e infinita)...
Si continuamos así indefinidamente tendremos un "infinito potencial" ("finito con pretensiones"-Petrus-) y estaremos manejando siempre números finitos que no propician ni permiten un salto cualitativo debido a su propia naturaleza finita.
Así pues, mientras el predecesor de cada nuevo número sea finito y éste se construya sumándole "uno" o cualquier otro número finito a dicho predecesor, obtendrás siempre un número finito, ¿como pretendes entonces dar el salto cualitativo para definir el infinito (que puede considerarse también como lo indefinible o lo indefinido) Landertxu? Absurdo ¿no?

6. Dices:

Yo siempre he estudiado las matemáticas en primer lugar por las definiciones, y después tratando de relacionar lo estudiado con algún concepto de la realidad. Si quieres definir el cardinal como el "número de elementos" para hacernos una idea, vale, pero eso no quiere decir que un cardinal sea un número y se deba poder operar como los números.

Eso es precisamente el problema Landertxu, que un cardinal infinito no sea un número y sin embargo tengas que hacer en tu definición algún tipo de referencia a número (finito) o algún concepto relacionado, pues si no lo haces así nadie entenderá lo que tratas de definir.

Por otro lado, las matemáticas son una ciencia exacta, pero si dispone únicamente de elementos finitos y con ellos pretende definir de forma exacta, precisa y positiva lo indefinido (infinito) lo único que hará será incurrir en errores (ver punto 5). 

7. Dices:

Y matemáticamente tenemos el conjunto de los Alephs, que es (definición) un conjunto igual que el de los naturales, el conjunto de los cardinales, que es (definición) el conjunto de los alephs más los naturales, y la aplicación cardinal, que va de un conjunto a un cardinal y que también se puede definir. Esas son las propiedades generales y diferenciadoras de lo que hemos visto hasta ahora, sus definiciones. Aunque nadie entienda para qué se aplican en la realidad, no dejan de ser conceptos bien definidos. Lo que no podemos hacer es definir algo por sus aplicaciones.

Sobre los definiciones de cardinales o conjuntos teóricamente infinitos ya incluí mis comentarios en éste mensaje, en el anterior (Alephs) y creo que en alguno más.

8. Dices:

Lo siento pero no me has convencido. Son realidades diferentes pero sobre las que se pueden establecer ciertas relaciones bien definidas, así como se puede operar con el 2 y con el 3 sumándolos, siendo en cambio números diferentes.

Puedes sumar el 2 y el 3 =5  porque, aunque son números diferentes tienen propiedades homogéneas (ambos son números), si pretendieras sumar 2 peras con 3 zapatos no podrías realizar la suma por ser realidades heterogéneas, yo también siento no haberte convencido, pero se trata de un principio elemental Landertxu, las relaciones "bien definidas" únicamente pueden establecerse entre elementos pertenecientes a realidades homogéneas (no heterogéneas, como sucede entre el finito y el infinito).

Sin embargo, es necesario precisar que, si nos remontamos de una escala del ser a otra más amplia o general, los elementos que son heterogéneos en relación con los de cierta (s) escala (s) pueden ser homogéneos en relación con los de otra escala más general. Vgr 2 peras y 3 zapatos que son elementos  heterogéneos a cierta escala, son, no obstante, homogéneos si se consideran como "cosas" (estas pertenecen a una escala más amplia del ser). Así pues, si sumamos 2 "cosas" con 3 "cosas" efectivamente obtendremos 5 "cosas" (y estas pueden ser peras y zapatos, pero consideradas como "cosas"), no obstante, creo que difícilmente las matemáticas pueden determinar  una realidad más amplia que la realidad teóricamente infinita, que es heterogénea en relación a la realidad finita, por lo tanto ambas son irreductibles o irreferibles a una realidad más amplia que permita ponerlas matemáticamente en relación.

Saludos

[fegapa]

Disculpen borré un mensaje que acabo de poner pues le encontré fallos.

Gracias por su comprensión

Fegapa

[fegapa]

Landertxu
A reserva de checarlo, creo que ya rectifiqué los errores que encontré, a continuación incluyo el mensaje corregido:

Mientras recibo tu respuesta a mis mensajes 97 y 98  y cambiando un poco el tema,
estoy sondeando algo que tal vez sea una chorrada, necesitaría más tiempo para estudiarlo a fondo, pero de todas formas me gustaría analizarlo contigo, aquí lo explico.

Para su mejor comprensión, primero quisiera exponer la paradoja de Russell que puede expresarse así:

"Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito, es el conjunto que consta de "ideas abstractas" es miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo". Wiki

Si es correcto que: "el conjunto que consta de "ideas abstractas" es (siempre) miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta", como dice el párrafo anterior expresado en la paradoja de Russell, quisiera formular una cuestión que en principio parece mostrar otra paradoja (¿?)

La pregunta es ésta:

Un conjunto cuyos elementos son puras contradicciones no interrelacionadas ¿encierra contradicciones?

Planteada la pregunta de esa forma, dicho conjunto parece ser una idea abstracta contradictoria  pues:

- Si la respuesta a dicha pregunta es sí encierra contradicciones, podemos negarlo afirmando que las contradicciones no están en interrelación unas con otras, por lo tanto el conjunto no encierra contradicciones. (Lo cual es contradictorio al afirmar y simultáneamente negar la respuesta dada).

- Si la respuesta es no encierra contradicciones, podemos afirmarlo diciendo que sí encierra contradicciones, aunque éstas no estén interrelacionadas, pues es de facto un conjunto de contradicciones encerradas en el conjunto. (Lo cual también es contradictorio al afirmar y simultáneamente negar la respuesta dada).

Conclusión:

Luego, el conjunto, de una forma o de otra parece ser contradictorio y el conjunto de todos los conjuntos de este tipo, es un miembro de sí mismo cuyos elementos son conjuntos contradictorios, por lo cual se refuerza la idea mencionada, de que se trata de un conjunto en sí mismo contradictorio. 

Me interesaría conocer tu opinión para ver si crees que es incorrecto este planteamiento, o si estimas que se podría presentar la cuestión de otra forma, en la cual resulte ser un conjunto no contradictorio. 

Saludos

[fegapa]

Landertxu

Creo que si planteamos la pregunta de la forma siguiente llegamos a la conclusión de que efectivamente el conjunto es contradictorio, observa:

Un conjunto cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿es en sí mismo contradictorio?

Si la respuesta es sí , aceptas tácitamente que es en sí mismo contradictorio, aunque al reconocerlo parece que no te contradices, pues efectivamente lo es.

Si la respuesta es no, te contradices, puesto que un conjunto que únicamente tiene contradicciones interrelacionadas es de facto contradictorio.

De cualquier forma llegamos a la conclusión de que el conjunto es en sí mismo contradictorio.

Ahora bien, si preguntamos:

El conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿lleva a contradicciones a la teoría de conjuntos, al reconocer ésta que existen dichos conjuntos (en sí mismos contradictorios)?

Si la respuesta es sí, aceptas tácitamente que lleva a contradicciones a dicha teoría, aunque parezca que no te contradices al reconocerlo.

Si la respuesta es no, te contradices, pues la teoría de conjuntos no puede ser consistente si acepta la existencia de conjuntos que son en sí mismos contradictorios, ya que, si existen varios de ellos o un número teóricamente infinito de conjuntos de este tipo, se convierten en elementos del conjunto teóricamente infinito  que los contiene a todos y si aceptas que dicho conjunto encierra únicamente elementos contradictorios, admites de facto que encierra en sí mismo puras contradicciones.
¿Como puede no ser contradictorio si encierra en sí mismo puras contradicciones interrelacionadas?

Así mismo, si el conjunto de todos los conjuntos (contradictorios y no contradictorios) encierra contradicciones, aunque solo sea en una parte de sí mismo, se vuelve inconsistente, por lo cual no puede aceptar conjuntos en sí mismos contradictorios, aunque tampoco puede evitarlo, pues lo que he dicho antes muestra que estos conjuntos existen o pueden existir dentro de la teoría de conjuntos.

¿Que opinas?

Saludos

[Landertxu]

Luego ¿el infinito es divisible en partes?

No sé qué es el infinito. De un conjunto de cardinal infinito sí se pueden tomar subconjuntos.

Al "tomar" una parte de él, de facto lo divides y de facto le restas esa parte al separarla del conjunto. Claro que esto pasa con conjuntos finitos... pero si de lo que has venido afirmando se desprende que no sucede así con conjuntos infinitos, pues al suprimirle una parte, no se la restas y al fraccionarlo para "tomar" una parte, no lo divides, implícitamente estás aceptando que se trata de realidades radicalmente heterogéneas y por lo tanto matemáticamente incomparables.

Al "tomar" una parte de él, tomas un subconjunto. La división y la resta son operaciones que van de, por ejemplo, reales por reales a reales (coges dos reales, y el resultado es un real). No tienen nada que ver con conjuntos, y no sé por qué dice que acepto nada.

Además, si sobre el cardinal de un conjunto infinito no aplican operaciones matemáticas, obviamente no puedes operar matemáticamente sobre él. Pero entonces ¿como puedes determinarlo matemáticamente?

Pues con las definiciones que te he dado. ¿Usan en algún momento alguna operación?

Para poder afirmar que: "las partes del infinito equivalen al infinitesimal" necesitas herramientas matemáticas que puedan determinar esa equivalencia, pero, ¿como puedes "operar" con dichas "herramientas" para determinar la equivalencia si los cardinales sobre los que vas a trabajar no son aptos para realizar operaciones matemáticas con ellos y por lo tanto no son matemáticamente determinables?

No son aptos para sumar, restar, multiplicar, dividir... Se les puede en cambio realizar aplicaciones (biyecciones), uniones, intersecciones, la operación "partes de" (que dado un conjunto, las partes de ese subconjunto es el conjunto de subconjuntos de dicho conjunto). De ahí se puede deducir todo. Menos una parte que está demostrado que es indecidible, y que se asume por axioma (hipótesis del contínuo).

Correcto Landertxu, finalmente parece que hablamos el mismo lenguaje, si "a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos" como dices, es precisamente porque en cada una de dichas realidades (finita e infinita) "se cumplen distintas propiedades" que las hacen heterogéneas... precisamente por eso son incompatibles y por lo tanto, como afirmas, "no se pueden aplicar las mismas operaciones" para unos y otros.

Tú razonamiento es "como hay operaciones que sólo se aplican en A, y no en B, no se puede aplicar ninguna operación en A y B", y luego lo usas como argumento.

Comparar conjuntos "término a término" partiendo de una realidad finita y proyectando o extrapolando dicha comparación, sin más, hacia una realidad infinita es dar un salto cualitativo, pretendiendo mezclar y comparar dos realidades radicalmente heterogéneas. ¿No acabas de afirmar en el punto anterior que "a un infinito no se le pueden aplicar las operaciones pensadas para números finitos"? ¿La aplicación biyectiva no fué inicialmente pensada por el propio Cantor para medir tamaños de conjuntos finitos?

Aplícate lo mismo que antes. Que no se puedan sumar dos infinitos no quiere decir que no exista ninguna aplicación inyectiva entre finitos e infinitos, por ejemplo.

[Landertxu]

El primer error en esta definición que das se genera al pretender dar un salto cualitativo entre dos realidades heterogéneas, mezclando elementos de ambas como si se tratara de realidades homogéneas para presuntamente "definir" lo indefinido (infinito).

Vgr. Tu afirmación sobre la "definición" del conjunto infinito de naturales que "contiene al cero y que si contiene un elemento contiene el siguiente",  supongo que te refieres al "siguiente" como "uno más".
Simplemente en este párrafo acabas de hacer referencia en tres ocasiones a números finitos, el "cero", el "uno" y "el siguiente" que debe ser necesariamente finito (pues su predecesor y el número que le añades para obtener el nuevo número, también lo son), de esta forma, aunque quieras proyectar esta sucesión númerica al infinito jamás lograrás rebasar la barrera cualitativa que separa las dos realidades (finita e infinita)...
Si continuamos así indefinidamente tendremos un "infinito potencial" ("finito con pretensiones"-Petrus-) y estaremos manejando siempre números finitos que no propician ni permiten un salto cualitativo debido a su propia naturaleza finita.
Así pues, mientras el predecesor de cada nuevo número sea finito y éste se construya sumándole "uno" o cualquier otro número finito a dicho predecesor, obtendrás siempre un número finito, ¿como pretendes entonces dar el salto cualitativo para definir el infinito (que puede considerarse también como lo indefinible o lo indefinido) Landertxu? Absurdo ¿no?

Muy fácil. De entrada el conjunto existe por axioma (y hasta ahora no ha dado contradicciones). Para demostrar que es infinito lo hacemos al revés. Suponemos que es finito y llegamos a una contradicción, no es muy difícil de ver. Que sigas afirmando que no se puede poner en la misma frase "finito" e "infinito" porque implosiona el universo no quiere decir que no se puedan definir los naturales a partir del 0, finito.

Eso es precisamente el problema Landertxu, que un cardinal infinito no sea un número y sin embargo tengas que hacer en tu definición algún tipo de referencia a número (finito) o algún concepto relacionado, pues si no lo haces así nadie entenderá lo que tratas de definir.

Por otro lado, las matemáticas son una ciencia exacta, pero si dispone únicamente de elementos finitos y con ellos pretende definir de forma exacta, precisa y positiva lo indefinido (infinito) lo único que hará será incurrir en errores (ver punto 5). 

Bueno, es normal, ¿no? No vamos a definir el infinito a partir de lo infinito...

Sobre los definiciones de cardinales o conjuntos teóricamente infinitos ya incluí mis comentarios en éste mensaje, en el anterior (Alephs) y creo que en alguno más.

Vale, aunque no te guste que las definiciones no sean intuitivas, son perfectamente coherentes para crear las matemáticas y no las voy a abandonar.

Puedes sumar el 2 y el 3 =5  porque, aunque son números diferentes tienen propiedades homogéneas (ambos son números), si pretendieras sumar 2 peras con 3 zapatos no podrías realizar la suma por ser realidades heterogéneas, yo también siento no haberte convencido, pero se trata de un principio elemental Landertxu, las relaciones "bien definidas" únicamente pueden establecerse entre elementos pertenecientes a realidades homogéneas (no heterogéneas, como sucede entre el finito y el infinito).

Podemos definir lo que queramos. Yo ahora voy a definir la operación "casita" de la siguiente forma: Es una operación que se aplica sobre tres elementos: Un natural, un complejo y un equipo de fútbol de Segunda División. La definimos así: Si el equipo de fútbol viste a rayas, la operación "casita" de ese equipo con un natural y un complejo es el complejo equivalente a la suma de ambos números. En otro caso, la operación "casita" será el módulo de la parte imaginaria del complejo multiplicado por el natural. Así, "casita" de 1, levante y 2+2i valdrá 3+2i. ¿Ves alguna contradicción en esta definición? ¿Son realidades homogéneas los conjuntos de la Segunda División española y los números complejos?

Del mismo modo se puede comparar el cardinal de un conjunto infinito con uno infinitesimal: El infinitesimal es más grande. Si aplicamos partes sobre el infinito, entonces tienen el mismo cardinal. ¿Ves alguna contradicción en esto?

Sin embargo, es necesario precisar que, si nos remontamos de una escala del ser a otra más amplia o general, los elementos que son heterogéneos en relación con los de cierta (s) escala (s) pueden ser homogéneos en relación con los de otra escala más general. Vgr 2 peras y 3 zapatos que son elementos  heterogéneos a cierta escala, son, no obstante, homogéneos si se consideran como "cosas" (estas pertenecen a una escala más amplia del ser). Así pues, si sumamos 2 "cosas" con 3 "cosas" efectivamente obtendremos 5 "cosas" (y estas pueden ser peras y zapatos, pero consideradas como "cosas"), no obstante, creo que difícilmente las matemáticas pueden determinar  una realidad más amplia que la realidad teóricamente infinita, que es heterogénea en relación a la realidad finita, por lo tanto ambas son irreductibles o irreferibles a una realidad más amplia que permita ponerlas matemáticamente en relación.

De nuevo, lo bueno de las matemáticas es que puedes definir lo que quieras. ¿Quien me prohibe crear el conjunto "cucharilla de café", que contiene todos los cardinales vistos hasta ahora? (es decir, los finitos y todos los aleph).

[Landertxu]

Creo que si planteamos la pregunta de la forma siguiente llegamos a la conclusión de que efectivamente el conjunto es contradictorio, observa:

Un conjunto cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿es en sí mismo contradictorio?

Si la respuesta es sí , aceptas tácitamente que es en sí mismo contradictorio, aunque al reconocerlo parece que no te contradices, pues efectivamente lo es.

Si la respuesta es no, te contradices, puesto que un conjunto que únicamente tiene contradicciones interrelacionadas es de facto contradictorio.

Bueno, mi respuesta es "sí", a ver dónde está la trampa...

Ahora bien, si preguntamos:

El conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos son puras contradicciones interrelacionadas ¿lleva a contradicciones a la teoría de conjuntos, al reconocer ésta que existen dichos conjuntos (en sí mismos contradictorios)?

Si la respuesta es sí, aceptas tácitamente que lleva a contradicciones a dicha teoría, aunque parezca que no te contradices al reconocerlo.

Análogamente la respuesta debería ser también "sí".

Así mismo, si el conjunto de todos los conjuntos (contradictorios y no contradictorios) encierra contradicciones, aunque solo sea en una parte de sí mismo, se vuelve inconsistente, por lo cual no puede aceptar conjuntos en sí mismos contradictorios, aunque tampoco puede evitarlo, pues lo que he dicho antes muestra que estos conjuntos existen o pueden existir dentro de la teoría de conjuntos.

No todos los conjuntos existen en la teoría de conjuntos. El axioma de la regularidad descarta unos cuantos, y el que tú propones es uno de ellos.