Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos

[fegapa]

Hola Petrus:

1. Dices:
“Creo que un I.A. puede tener subconjuntos no finitos. Bastará tomar de él por ejemplo un par de elementos. Luego no todos los subconjuntos de un IA lo son a su vez. Lo que no obsta para que también puedan encontrarse en él subconjuntos infinitos, si los buscamos”

La verdad no entiendo este párrafo Petrus, me imagino que quieres decir que un IA puede tener tanto subconjuntos finitos como infinitos, pero si es así le sobra el no   que subrayé.

Si lo tomamos literalmente (sin suprimir el no), precisamente en esto reside la paradoja, en que un IA pueda tener subconjuntos no finitos con lo cual (el todo=a la parte).

Si lo tomamos suprimiendo el no  toma sentido lo que dices a continuación, y en esa caso diría:

"Creo que un I.A. puede tener subconjuntos finitos. Bastará tomar de él por ejemplo un par de elementos. Luego no todos los subconjuntos de un IA lo son a su vez. Lo que no obsta para que también puedan encontrarse en él subconjuntos infinitos, si los buscamos”
 
Lo cual intenta replicar lo que mencionaba yo en el M: 27:
"El (IA) Es indivisible, pues al dividirlo, segmentarlo o acotarlo, todas sus partes de distintos tamaños serían igualmente infinitas (infinitamente divisibles), con lo cual (el todo=parte mayor=parte menor) lo cual es absurdo."
Sin embargo, observa lo que afirmabas en el M.10, con lo cual apoyas lo que menciono en el sentido de que todos los sunconjuntos de un IA son a su vez IAs:

“Un infinito que considero actual porque su ausencia de límites resulta clamorosa es el conjunto de los números reales, por ejemplo, cuya foto más común es el eje de coordenadas  X X´. No tiene límite inferior, ni superior, y cualquier segmento acotado de él, contiene a su vez infinito número de elementos. Así, entre 1/2 y 1/3 ( dos racionales), caben todos los valores expresables por la expresión 1/ n   siendo  2 < n < 3 ( sin demasiadas precisiones matemáticas). Como entre 2 y 3 hay infinitos números reales intermedios , ya que no es posible limitar su número, entre cada par de puntos del eje XX´hay otros infinitos elementos... no hay límites, es un infinito… (un IA como empiezas diciendo).”

Ahora bien, si consideras el conjunto de números reales como un IA y pretendes dividirlo tomando de él "un par de elementos", como decías,  cada uno de éstos sería a su vez un IA constituido por infinitos elementos, y cada cual de estos últimos sería un IA y así sucesivamente sin límite, siendo todos y cada uno de ellos un IA con una cardinalidad infinita, equivalente a la del IA original, - absurdo- y esto es así aunque hayas tomado únicamente "un par de elementos" del conjunto que, a pesar de parecer finitos, resultan infinitos (ya sea que los busques o no los busques, como afirmabas), lo cual se puede apreciar en lo antes dicho.

Pero no solo encontramos paradojas al intentar dividir el hipotético IA de números reales, el conjunto de números naturales o el de números enteros que no son infinitamente divisibles, tampoco pueden constituir un IA y si creyeras lo contrario y pretendieras dividir alguno de ellos  tomando de él "un par de elementos" te toparías con las acostumbradas  paradojas que encierran todos los IAs.

Intentemos por ejemplo dividir en 2 el supuesto conjunto  IA de números naturales. Dividir es averiguar cuantas veces el divisor (en este caso = 2) está contenido en el dividendo que es infinito. Nos encontramos que 2 cabe infinitas veces en el IA. Pero si lo dividimos entre 3, este divisor también cabe infinitas veces en el IA, y lo mismo pasa con cualquier número finito natural,  entero, racional o real o sus especies o derivados (primos, cuadrados, etc)...  por lo tanto ningún  IA puede ser considerado divisible  sin que aparezcan paradojas.

El IA es una unidad completa indivisible (no constituido por partes o conjuntos de ellas).

2. Dices:
“Al definir un IA ( para mí es un IA el conjunto de los puntos de un segmento rectilíneo acotado o el conjunto de los números primos o los racionales, etc.) solo lo definimos, expresamos su cualidad esencial, la de carecer de límite. No creo que se limite al definirlo...”

Si el infinito, (lo no finito) es indefinido ¿Cómo puedes definirlo?... Y aún más, ¿Cómo puedes definirlo en forma positiva, precisa y exacta?

Decía yo:
“El (IA)  es indeterminable en forma precisa, exacta y positiva pues en el momento en que lo delimitamos (o señalamos puntualmente sus términos) lo convertimos en finito”.

Si su cualidad esencial es como afirmas,  “carecer de límite”  y ésta cualidad es sinónimo de “indefinido” (“no definido” que “no está definido” ni puede estarlo, pues si lo estuviera no sería infinito), entonces ¿Cómo piensas definir lo indefinido en forma positiva, precisa y exacta?
¿Te parece que la definición "carece de límite"  o "no tiene fin" es positiva, precisa y exacta?

¿Como puede ser exacta y positiva si la consecuencia directa de la cualidad principal de lo indefinido (infinito) es que no tiene posible definición,  precisamente por carecer de límites?

Esta y aquella son cualquier cosa menos una definición exacta, precisa y positiva (no muestran puntualmente lo que es o tiene, sino por el contrario señalan ausencia de ser o carencia). Por lo cual, creo que tratar de definir lo esencialmente indefinido (el infinito) es caer de facto en el absurdo.

Continúo en el próximo mensaje.

[fegapa]

Petrus:
Continúo respondiendo:

3.-  Dices:
“La velocidad expresa el recorrido por unidad de tiempo, como yo utilizo un lápiz, me muevo una longitud no nula por unidad de tiempo,  que hay que expresar en nº de puntos sobrevolados... y como la densidad de puntos es infinita, si recorro 0.0001mm por segundo, he sobrevolado infinitos puntos del conjunto segmento... Mientras v>0 , sobrevuelo infinitos puntos por segundo."

Si: Velocidad = Espacio recorrido /tiempo  y el espacio recorrido es infinito, siendo el tiempo limitado (1 segundo):

V=Infinito/t

Esta ecuación nos muestra que V es siempre infinita, no importa cual número (finito) sea t, pues cualquier divisor finito cabe infinitas veces en un dividendo infinito.
Pero la velocidad  (V) no puede ser al mismo tiempo finita e infinita, lo cual parece mostrar que lo que afirmas es incorrecto. No puedes sobrevolar infinitos puntos en un segundo (ni en cualquier tiempo finito).

4.- Dices:
“ No veo la dificultad de comparar entre sí infinitos, aún cuando cada uno contenga a su vez subconjuntos de ese mismo tipo. Puedo ver y saber que un segmento tiene doble longitud que otro, ambos tienen infinitos puntos y la relación, cociente o razón entre ambos es 1/2. Duda : razón de longitud y/o razon de nº de puntos?”

Si existen dos segmentos en el eje X, X’  y uno tiene doble de longitud que el otro, conteniendo  ambos infinitos  puntos (los dos segmentos tienen la misma cantidad de puntos, por lo tanto  son equipotentes), pero sin embargo, si los puntos de uno de los conjuntos no son el doble de grandes que los del otro sino que son iguales en magnitud individual y la separación entre los puntos de ambos conjuntos es exactamente la misma,  estamos claramente ante una paradoja, y la contradicción radica en que siendo los puntos iguales en magnitud y estando ubicados a la misma distancia unos de otros de forma que llenen los dos segmentos, existe, sin embargo, la misma cantidad de ellos en dichos segmentos distintos en longitud (uno es doble que el otro).
Una vez más, la dificultad de comparar infinitos de distintos tamaños radica en las paradojas que encierran, y creo que estoy fundamentando mis respuestas con razones, si estoy mal te pediría que, con razones, me  indiques en donde esta la falla.  Si tú “no ves  la dificultad de comparar entre sí infinitos”  y no  consideras que las paradojas o contradicciones que menciono son tales, en el mejor plan, me gustaría conocer las razones que fundamentan tu opinión. 

5.- Dices:
“Realmente no entiendo nada sobre infinitos, solo deduzco o intento deducir desde mi experiencia y lo que sepa de matemáticas, pero aplicamos el lenguaje que poseemos.
Cuando digo "más grande" refiriéndome a un infinito, lo expreso en la misma forma con que me he referido a dos segmentos de distinta longitud, donde mi visión me permite abarcar con un solo golpe de vista cómo dos conjuntos de infinitos elementos ( y sin embargo, en sus dimensiones físicas, limitados) son distintos.
Tal vez es el cambio de dimensión ( pasar de concepto y mundo matemático a físico)  lo que nos permite "abarcar" algo infinito…"

Sí, pero siempre y cuando respetemos el principio de no contradicción, pues si lo tiramos por la borda, aceptando contradicciones en nuestros planteamientos, cualquier afirmación que hagamos puede ser inmediatamente negada sin que medie explicación lógica alguna, ¿no crees?

Dices:
“Una sospecha. Sin embargo, a  pesar de todo lo expresado, tengo la sospecha de que lo infinito nos está vedado en su verdadera esencia y que todo esto no son más que aproximaciones, lo que vendría a demostrar que algo en nosotros es un infinito potencial... espero.”

En esto coincido. Creo que muy probablemente tienes razón.

Dices:
“Un temor. Que este amistoso debate pueda durar hasta que se termine el tema.”

No te preocupes Petrus, la conversación que mantengo contigo durará hasta que tú quieras y se terminará igualmente cuando quieras.

Un afectuoso saludo.

[petrus]

Poco a poco, que no doy más de mí...

1.- Hay una errata de escritura . Sobra el no o debe decir " no infinito"

2.- Ahora haré algo dudoso. Establecer una aplicación biyectiva entre un conjunto infinito de n.reales y el segmento que los representa ( su fotografía 100% exacta). El conjunto de números reales de un segmento sería un infinito de tipo continuo o compacto, en el que se verificaría que entre dos cualesquiera de sus elementos queda un subconjunto en el que se pueden intercalar otros infinitos elementos más. Así, entre 1/2 y 1/3 caben, entre otros, 1/(2.1),1/(2.2),1/(2.3)... con todos los decimales que se deseen 1/(2.11), 1/(2.12), más los irracionales que existan ahí ...
Desde el punto de vista geométrico, que es como la fotografía del conjunto origen, todos los subconjuntos ( microsegmentos...) serían infinitos, pero, siempre hay un pero, si nos vamos a otra dimensión o punto de vista, si nos permitimos especificar condiciones que deben cumplir los elementos de un subconjunto, tenemos muchas( iba a escribir infinitas) posibilidades. Por ejemplo: Èl subconjunto de números reales tales que sean " iguales o mayores que 1 e iguales o menores que 1000"  y " múltiplos de 100", nos proporciona las centenas entre 100 y 1000, lo que es un subc. finito. O extraer cinco al azar, o...
No estoy seguro de que pueda mezclar tan alegremente geometría con aritmética. Si es válido, sería una forma de extraer un conjunto finito incluso de los que, geométricamente, no se podría.

3.- La velocidad se puede expresar como espacio recorrido por unidad de tiempo o como "hamburguesas que devoro en la unidad de tiempo" , y en este sentido, puntos que recorro por unidad de tiempo, lo uso aquí. Como cualquier microsegmento tiene infinitos puntos, una velocidad finita en el espacio geométrico de distancias al origen del eje XX´ equivale a una velocidad infinita en el espacio de puntos. Otro milagro de un razonamiento dudoso o como hacer infinito algo finito.

4.- Seguimos discrepando en la frase
 " El todo = parte mayor = parte menor" , cuando el todo y las partes son infinitos, ya que yo defiendo que existen infinitos de diferente tamaño, y una demostración práctica es el conjunto de los números reales ( todos) en el eje X en relación con cualquiera de sus subconjuntos geométricos, segmentos partes de él, también infinitos. Al menos porque, demostración grosera, uno de ellos, el todo, contiene a los otros y, como veo en un  gráfico " sobresale por los lados"

5.- Tal vez debiéramos ponernos de acuerdo con el significado del término " definido" que yo uso en la acepción de "tener un significado preciso" , aunque visualmente signifique también " tener límites precisos", como cuando se dice " esta foto tiene buena definición" .
Creo que en estos temas, si se dispusiera de un lenguaje adecuado, las 3/4 partes de las diferencias se disolverían solas.
Se que soy demasiado visual, como los pájaros, pero cada uno es como ha llegado a ser hasta hoy.
Espero seguir otro rato, cuando pueda... Saludos.
 

[fegapa]

Hola Petrus, disculpa el retraso:

1. Dices:
"Hay una errata de escritura . Sobra el no o debe decir " no infinito"

OK, en relación a la errata de escritura  estamos de acuerdo, sobra el no que habías escrito y creo que ya respondí tu párrafo suprimiendo dicho no previamente.

2.- Dices:
"Ahora haré algo dudoso. Establecer una aplicación biyectiva entre un conjunto infinito de n.reales y el segmento que los representa ( su fotografía 100% exacta)."

A continuación,  haces referencia al conjunto de números reales diciendo que es un conjunto infinito que engloba a una cantidad infinita de subconjuntos tanto infinitos como finitos y si los consideraras como IPs (Infinitos Potenciales) estaría de acuerdo contigo, pero lo que no veo que demuestres con la aplicación biyectiva  es que el conjunto y sus subconjuntos sean IAs (Infinitos Actuales).

En los M:1 y M:21,  incluyo  demostraciones sobre la ineficacia de las funciones biyectivas  para medir y diferenciar tamaños de conjuntos infinitos que, hasta la fecha, no han sido invalidadas por ti ni por algún otro miembro de este subforo.

Quiero añadir una frase que considero importante en referencia a este punto y en relación a dichos mensajes y que subrayo a continuación:

Si estableces una correspondencia entre elementos de dos conjuntos supuestamente infinitos (IAs), para conocer y comparar sus respectivos tamaños, sin tomar en cuenta si existen rezagos, llegarás arbitrariamente a la conclusión  que quieras llegar (Ver M:1), pues el resultado dependerá de la combinación inicial que hayas elegido.

Con lo cual, al efectuar la aplicación biyectiva  que mencionas y tratándose de conjuntos supuestamente infinitos, no puedes comparar con seguridad sus tamaños mientras no tomes en cuenta si existen rezagos al ponerlos en correspondencia. Y aún si demostraras que no existen rezagos al hacer dicha aplicación entre el conjunto de puntos de la recta X X´y el conjunto de Nos Reales, no habrías comprobado aún que ambos son IAs,  pues para probar esto tienes que demostrar que cada conjunto y sus subconjuntos respectivos  resultan ser equivalentes al establecer entre ellos la función biyectiva, (deben ser infinitos con cardinalidad equipotente) y no existir rezagos al ponerlos en correspondencia biunívoca.

Creo que lo prudente es considerarlos como IPs (Infinitos Potenciales) aunque éstos no sean más que un “finito con pretensiones”  como atinadamente los describiste.

Por si lo dicho no fuera suficiente en el M:22   tu mismo descalificas el método que utiliza aplicaciones entre elementos de conjuntos para llegar a conclusiones correctas en relación a su descripción:

Dices:
“Si tomo subconjuntos pero no el total, mi descripción del conjunto es necesariamente parcial y las conclusiones derivadas de ella, probablemente falsas.
Por eso creo que el método de aplicaciones entre elementos es inadecuado.”

En conclusión, mientras no demuestres que el conjunto de números reales y sus subconjuntos son Infinitos actuales (IAs), y no Infinitos Potenciales (IPs), no podemos considerarlos como tales, la aplicación biyectiva que mencionas no es una prueba suficiente para demostrar que se trata de un IA.

3.- Dices:
"La velocidad se puede expresar como espacio recorrido por unidad de tiempo o como "hamburguesas que devoro en la unidad de tiempo" , y en este sentido, puntos que recorro por unidad de tiempo, lo uso aquí. Como cualquier microsegmento tiene infinitos puntos, una velocidad finita en el espacio geométrico de distancias al origen del eje XX´ equivale a una velocidad infinita en el espacio de puntos. Otro milagro de un razonamiento dudoso o como hacer infinito algo finito".
 
Lo que no está demostrado es que cualquier microsegmento tiene infinitos puntos IAs, y mientras alguien no proporcione pruebas en contrario deben considerarse como IPs.

Cantor pretendió demostrarlo mediante el método que se impugna en los mencionados M1:  y M21:  de este subforo y dichas impugnaciones deben ser tomadas en cuenta mientras no exista prueba en contrario.

4.- Dices:
"Seguimos discrepando en la frase
 " El todo = parte mayor = parte menor" , cuando el todo y las partes son infinitos, ya que yo defiendo que existen infinitos de diferente tamaño, y una demostración práctica es el conjunto de los números reales ( todos) en el eje X en relación con cualquiera de sus subconjuntos geométricos, segmentos partes de él, también infinitos. Al menos porque, demostración grosera, uno de ellos, el todo, contiene a los otros y, como veo en un  gráfico " sobresale por los lados"

Petrus ya mencionaste lo que entiendes por “infinito”, ahora bien, para poderte contestar este punto, ¿podrías definir que entiendes por tamaño? Y en relación con ésto ¿Qué entiendes por “más pequeño” y “más grande”?

5.- Dices:
“Tal vez debiéramos ponernos de acuerdo con el significado del término " definido" que yo uso en la acepción de "tener un significado preciso" , aunque visualmente signifique también " tener límites precisos", como cuando se dice " esta foto tiene buena definición" .
Creo que en estos temas, si se dispusiera de un lenguaje adecuado, las 3/4 partes de las diferencias se disolverían solas.”

De acuerdo con tu definición de “definido”, lo contrario "indefinido" (infinito) sería lo opuesto a lo que mencionas, es decir,  “lo que no tiene un significado preciso” o “lo que no tiene límites precisos”, lo cual corrobora que no puede darse una definición positiva y precisa del vocablo “infinito”

Un afectuoso saludo

[petrus]

Como el tema da para toda una vida yalgo más, solo voy a referirme a un par de puntos en los que diferimos.
Respecto a los subconjuntos de un conjunto infinito, y ponía el ejemplo del eje de los números reales, creo que:
1.- Se puede crear un subconjunto finito a partir de un conjunto infinito si el criterio de selección solo permite entrar en él a un número limitado de elementos. Por ejemplo, los números reales nr que siendo,     1< nr < 20000  sean cuadrados perfectos de números enteros.
Ahí solo caben el 4,9,16,25,36,49,... 141. No hay más.
y en ese intervalo 1,20000 hay infinitos n reales.
2.- En ese mismo intervalo se pueden crear subconjuntos infinitos, si la condición lo permite. Por ejemplo,  el conjunto de nr reales tales que   1 < nr < 100. En este intervalo, al que no pertenecen ni el 1 ni el 100  hay infinitos nr.
3.- Si formo ahora el intervalo   1 < nr < 50, tengo un nuevo subconjunto con infinitos elementos.
4.- Supongo que si establezco una correspondencia biunívoca entre los elementos de uno y otro ( los definidos en 2 y 3 ) que tengan el mismo cardinal , no tendré demasiados problemas hasta llegar al 50, ya que, de hecho, hasta ese valor son exactamente el mismo subconjunto. A partir del 50 entro en el subconjunto mayor y ya no puedo establecer correspondencia con elementos del anterior, ya que todos ellos tienen la suya establecida.
Y me sobran desde 50 hasta < 100. Otros infinitos nr.
5.- Desde el punto de vista material es como tomar una tira de tela de 100 cm de longitud y otra de 50 cm, ambas del mismo material ( números reales). Si de la primera corto 50 cm, establezco una aplicación con la pequeña y deduzco su igualdad, punto a punto. La mitad sobrante también es infinita en nr y es sobrante.
De donde deduzco que existen infinitos de diferente orden.
En este caso, doblando la tira larga por el centro tengo tres tiras iguales ( salvando algún problema de los valores extremos, finitos, entre las que puede establecerse una relación de igualdad.
De donde deduzco que la tira larga representa un infinito de orden 2 respecto de la tira corta.
Nota.- la infinitud de cualquier segmento de nr se basaría en el hecho de que, dados dos nr tan próximos como se quiera, en ese intervalo existen otros infinitos subconjuntos de elementos que pueden ponerse en correspondencia con los números enteros ( infinitos)...
Ejemplo. Entre 1.001 y 1.002 se puede empezar con 1.0011, 1.0012, 1.0013.... 1.00(cualquier n entero)... y lo mismo entre cualquier pareja anterior 1.0011 y 1.0012... hasta siempre.
Continuará, espero.

[fegapa]

Hola Petrus

Petrus, a estas alturas de la discusión quisiera preguntarte: ¿Los conjuntos y subconjuntos infinitos que mencionas son considerados por ti aún como IAs (Infinitos Actuales) o los consideras ya como IPs (Infinitos Potenciales)?

Si los consideras como IPs, podríamos estar substancialmente de acuerdo en que se evita la aparición de paradojas en los planteamientos.

Si los llegaras a considerar aún como IAs, creo que las contradicciones señaladas en los mensajes anteriores sobre conjuntos o series IAs, particularmente en el M:30  que quedan aún sin resolver, y las impugnaciones (aún sin réplica) hechas por tí  mismo en M:22 y por mí en  M1 y M:21...,  en contra del método de aplicaciones, poniendo en correspondencia elementos aislados (o grupos de ellos) pertenecientes a conjuntos o subconjuntos teóricamente infinitos (IAs), desgraciadamente me parece que invalidarían tus propias demostraciones y conclusiones posteriores.

Por ejemplo:
1. Dices:
 

Respecto a los subconjuntos de un conjunto infinito, y ponía el ejemplo del eje de los números reales, creo que:
1.- Se puede crear un subconjunto finito a partir de un conjunto infinito si el criterio de selección solo permite entrar en él a un número limitado de elementos. Por ejemplo, los números reales nr que siendo,     1< nr < 20000  sean cuadrados perfectos de números enteros.
Ahí solo caben el 4,9,16,25,36,49,... 141. No hay más.
y en ese intervalo 1,20000 hay infinitos n reales.

En caso de que el conjunto infinito que contiene al subconjunto finito sea considerado como un IA y tomando como base lo que decía yo en M:30

Intentemos por ejemplo dividir el supuesto conjunto  IA de números reales entre el número de elementos de su subconjunto finito mencionado por tí (4,9,16,25,36,49...19,881*)- [*Substituí el 141 por 19,881 pues es su cuadrado perfecto]. Este subconjunto finito tiene una cardinalidad de 140 elementos ¿no es así Petrus?. Si me equivoco, por favor corrígeme. Ahora bien,  decía yo que, dividir es averiguar cuantas veces el divisor (en este caso = 140) está contenido en el dividendo que es infinito. Nos encontramos que 140 cabe infinitas veces en el IA. Pero si lo dividimos entre 100, 150, 160, 170 o cualquier otra cantidad, estos divisores también caben infinitas veces en el IA, y lo mismo pasa con cualquier número finito natural,  entero, racional o real o sus especies o derivados (primos, cuadrados, etc)...  por lo tanto ningún  IA puede dividirse sin que aparezcan paradojas o contradicciones.

El IA debe ser una unidad completa indivisible (no constituido por partes o conjuntos de ellas)."

2.- Dices:

En ese mismo intervalo se pueden crear subconjuntos infinitos, si la condición lo permite. Por ejemplo,  el conjunto de nr reales tales que   1 < nr < 100. En este intervalo, al que no pertenecen ni el 1 ni el 100  hay infinitos nr.

Para eludir las contradicciones mencionadas en M:30 sería mejor decir  que en dicho intervalo la cantidad de n.r. y de subconjuntos de n.r.  tiende a ser infinita, de ésta forma la identificas como IPs y evitas caer en esas paradojas o contradicciones que, según me parece, destruyen tu argumentación.

Y para ilustrar un poco más estas paradojas veamos este ejemplo:

Si el cardinal (No de elementos) de un conjunto está constituido por la suma de los cardinales de dos de sus subconjuntos, una mayor que otra y consideramos este conjunto como IA, observemos lo que sucede:

a) El conjunto tiene una cardinalidad infinita equivalente a la de cada uno de sus subconjuntos (el "todo" = a c/u de sus "partes" consideradas por separado).

b) Como ya mencioné antes, el cociente que obtenemos al dividir el número de elementos del conjunto entre el número de elementos de cada uno de sus subconjuntos es el mismo (infinito), sin importar que el cardinal de un subconjunto sea mayor o menor que el del otro, (la "parte mayor" cabe en el "todo" el mismo número de veces que la parte menor).
 
c) La cantidad resultante al sumar los cardinales del conjunto "a" más los de sus subconjuntos "b" y "c" es igual a cada una de las cantidades indivuduales de los tres sumandos tomadas por separado (suma de a+b+c=a, pero también =b, y así mismo =c (la suma del todo más sus partes es igual al todo... y a cada parte individual tomada por separado).
   
Todos estos absurdos y otros no considerados aquí, aparecen en los IAs no así en los IPs.

3.- Dices:

Si formo ahora el intervalo   1 < nr < 50, tengo un nuevo subconjunto con infinitos elementos.

Aplica la misma respuesta del punto 2.

4.- Dices:

Supongo que si establezco una correspondencia biunívoca entre los elementos de uno y otro ( los definidos en 2 y 3 ) que tengan el mismo cardinal , no tendré demasiados problemas hasta llegar al 50, ya que, de hecho, hasta ese valor son exactamente el mismo subconjunto. A partir del 50 entro en el subconjunto mayor y ya no puedo establecer correspondencia con elementos del anterior, ya que todos ellos tienen la suya establecida.
Y me sobran desde 50 hasta < 100. Otros infinitos nr.

Si los consideras como IAs ¿que pasa al llegar al 50? ¿ pones fin a los emparejamientos entre ambos subconjuntos teoricamente infinitos habiendo puesto todos y cada uno de sus elementos en correspondencia biunívoca sin que falte ni sobre alguno de ellos?  Pero si tu mismo  definiste "infinito" como aquello que no tiene fin ¿como pueden ser infinitos los emparejamientos que tú mismo aceptas finalizar al llegar al 50? y por lo tanto ¿como pueden ser infinitos los subconjuntos emparejados (o puestos en correspondencia biunívoca)? Si ambos subconjuntos son infinitos y se han puesto en correspondencia todos sus elementos, no pueden finalizar sus emparejamientos.

Creo que esta nueva paradoja puede evitarse si los subconjuntos se consideran como IPs y no como IAs ¿no te parece?

5.- Dices:

Desde el punto de vista material es como tomar una tira de tela de 100 cm de longitud y otra de 50 cm, ambas del mismo material ( números reales). Si de la primera corto 50 cm, establezco una aplicación con la pequeña y deduzco su igualdad, punto a punto. La mitad sobrante también es infinita en nr y es sobrante.
De donde deduzco que existen infinitos de diferente orden.
En este caso, doblando la tira larga por el centro tengo tres tiras iguales ( salvando algún problema de los valores extremos, finitos, entre las que puede establecerse una relación de igualdad.
De donde deduzco que la tira larga representa un infinito de orden 2 respecto de la tira corta.
Nota.- la infinitud de cualquier segmento de nr se basaría en el hecho de que, dados dos nr tan próximos como se quiera, en ese intervalo existen otros infinitos subconjuntos de elementos que pueden ponerse en correspondencia con los números enteros ( infinitos)...
Ejemplo. Entre 1.001 y 1.002 se puede empezar con 1.0011, 1.0012, 1.0013.... 1.00(cualquier n entero)... y lo mismo entre cualquier pareja anterior 1.0011 y 1.0012... hasta siempre.

Si los infinitos son IAs, aplican las mismas respuestas anteriores, y si pones en correspondencia subconjuntos de nr teoricamente IAs entre ellos mismos o entre ellos y  conjuntos de números enteros también IAs para probar su infinitud, además de los posibles rezagos que se generarían al intentar ponerlos en biyección, recuerda que este método de aplicaciones fué impugnado por tí en el M:22 y por mí en M:1 y M.21 sin que haya réplicas que invaliden lo dicho en esos mensajes.

Petrus, espero que estemos de acuerdo en que todos los infinitos que mencionas son IPs.
Gauss y Poincaré tenían razón, no se puede incluir el IA en matemáticas por las paradojas y contradicciones que encierra.

Un saludo con todo afecto.

[petrus]

Temo repetirme, pero intento resumir mi posición.
1.- Acepto que el método de establecer correspondencias entre los elementos de un conjunto infinito CI puede producir paradojas, por ejemplo que parezca que hay tantos números enteros pares como enteros pares e impares, y otras...
He escrito parezca. Porque lo que me parece inapropiado es el método.
La contradicción todo=parte aparece con el método de aplicaciones cuando se usa libremente, porque se sacan  conclusiones paradójicas antes de concluir la operación completa, o sea, se afirma la existencia de paradoja antes de terminar la comparación, que con este método es a menudo imposible de completar. Solo podemos afirmar el tamaño de un CI una vez que se ha abarcado en su totalidad. A pesar de su infinitud, la matemática nos permite abarcarlo plenamente a menudo.
Si tomo el CI de naturales ( 1,2,3...) puedo obtener paradojas porque saco conclusiones sin terminar la operación, entre otras cosas, porque el método elegido es infinitamente tedioso... Solo podré eliminarlas al concluir la aplicación elegida, si me fuera posible. Y como son paradojas y contradicciones, ello nos proporciona razones para desechar el método. Es una aplicación del ejemplo del elefante hindú y sus examinadores ciegos...
Paradoja=conclusión prematura, tomada antes de concluir la operación.
El método adecuado creo que pasaría por obtener y certificar un infinito del tipo más sencillo posible, por ejemplo, la serie de números naturales ( 1,2,3...).Tal vez habría que desarrollar algunos axiomas o postulados para evitar problemas posteriores, por ejemplo; si todos los elementos de un CI pertenecen a otro CI, el primero es menor o igual que el segundo, por ejemplo, CI1 (2,4,6... 2n),  contenido en CI2 (1,2,3,4,5,6 ...n), y similares.
Un método aplicable, o uno de ellos, para determinar el carácter de un conjunto, pasaría  por compararlo globalmente con otro conocido.
Ejemplo: sea el sumatorio de 1/ n^2), cuya suma con TODOS los números naturales para n producen un valor conocido y acotado . Para alcanzar este valor hemos de otorgar a n TODOS los números naturales, sin exceptuar a ninguno. Luego tiene infinitos sumandos, lo mismo que el conjunto n.naturales. Son dos CI iguales. Y lo podemos afirmar sin necesidad de establecer aplicaciones individuales término a término, sino globales. Libramos la paradoja si podemos afirmar algo del todo sin tomar las partes.
En esto estamos de acuerdo, el método puede producir paradojas.
2.- No querría volver sobre semántica de los términos utilizados. Al fin y al cabo, en el lenguaje hay bastantes palabras cuyo significado es primario, como un axioma matemático o un postulado. Término es palabra, pero también es final, en español. Tomar un significado por otro puede producir aparentes contradicciones. Lo mismo ocurre con definir... ello no debe producir inconvenientes si se toma el significado deseado.
3.- Respecto al conjunto de n reales, tiene algunas propiedades especiales que tal merecería algún que otro tratado que yo no soy quién para escribir, pero es una especie de mar en cuyas olas, aun las menores, se esconden réplicas de sí mismo. Como en muchas imágenes fractales, de una belleza estética impresionante.
4.- Respecto a que cualquier subconjunto de un IA debe ser infinito, discrepo. Para que un subconjunto lo sea basta, a mi entender, con que todos sus elementos pertenezcan al conjunto matriz, bajo la o las  condiciones que lo definan. Que sea infinito o no, dependerá de esa condición o condiciones.
En el conjunto CI(n), los pares forman un subconjunto Infinito, los impares otro SCI, los cuadrados perfectos otro SCI, pero los ( n<10) forman un subconjunto finito.
Para compararlos con el CI(n) se podría echar mano del axioma ó postulado de más arriba sobre pertenencia o inclusión... pero se ruega no manipular con aplicaciones.
5.- Habitualmente considero IP a los conjuntos cuyo nº de elementos o cuyo valor de referencia se hace crecer ilimitadamente sin llegar al límite. Si tengo el límite y sé que es infinito, cuando manejo el valor del límite, estoy manejando un CI con infinitos elementos construyendo solidariamente el valor final, y creo que eso ya es un IA.
Aplicando esto al ejemplo anterior, mientras manejo el sumatorio, tengo un IP. Cuando manejo el total de la suma, tengo un IA. Podrían ser dos formas de manejar algunos CI, bajo la forma de función creciente, IP, y cuando valor final , sería una IA.
6.- Infinitos saludos a los IP lectores y coforeros.

[Landertxu]

Hola. Lamento decir que no he leído todo el tema, tan solo el principio, por lo que es probable que lo que diga ya se haya comentado y/o rebatido. Aun así quiero dar mi opinión:

La teoría de conjuntos en principio habla de cuando un conjunto contiene a otro, o el cardinal de un conjunto es mayor que el de otro. Para eso se define que un conjunto A es "igual de grande" que un conjunto B si podemos establecer una biyección entre A y B. Es decir, una correspondencia que a cada elemento de A le corresponde uno y solo uno de B, y viceversa. También podemos definir que un conjunto A es "más grande" que B si podemos hacer una correspondencia de cada elemento de B a uno solo de A, pero no al revés. Esto de aquí funciona bien para todo tipo de conjuntos: finitos, infinitos numerables o infinitos no numerables. Si ahora quieres introducir la notación de "un conjunto es el doble de grande que otro", pues es una notación que sólo funciona en conjuntos finitos, por lo que no tiene sentido aplicarlo en conjuntos infinitos, más concretamente en y , ya que puede parecer que hay "el doble" de enteros que de naturales, cuando realmente tienen el mismo número de elementos ().

Claro, esto no es completamente intuitivo. Puede parecer por ejemplo que los números naturales son el doble que los números pares, pero no. Realmente lo que haces es crear una correspondencia por el nombre del número: A cada número par le corresponde el número natural que se llama igual que él, es decir, a "veintiseis" le corresponde "veintiseis". Pero es una correspondencia como cualquier otra, y por tanto la falacia consiste en afirmar: "Como esta correspondencia no es biyectiva, no hay ninguna biyección entre ambos conjuntos, y por tanto su tamaño es diferente". En efecto esa correspondencia no es una biyección, pero existir existe. Por ejemplo:




Esto es una biyección entre los naturales y los pares, que hace corresponder a cada natural su doble. Por tanto por definición podemos afirmar que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

Aunque parezca que los naturales siempre irán "retrasados" con respecto a los pares, la biyección está definida para todo par y para todo natural, que es lo que nos interesa. Como la teoría de conjuntos no deja de ser una serie de axiomas/definiciones, en este caso se cumple. Además no hay ninguna contradicción (o al menos no se ha encontrado ninguna) en dicha teoría. Como mucho puede ir en contra de la intuición, pero como el infinito es algo que se escapa de la mente humana en muchos casos, creo que esta teoría es más que suficiente para tratar ese tipo de conjuntos teóricos.

[fegapa]

Hola Landertxu

1. Dices:

La teoría de conjuntos en principio habla de cuando un conjunto contiene a otro, o el cardinal de un conjunto es mayor que el de otro. Para eso se define que un conjunto A es "igual de grande" que un conjunto B si podemos establecer una biyección entre A y B. Es decir, una correspondencia que a cada elemento de A le corresponde uno y solo uno de B, y viceversa. También podemos definir que un conjunto A es "más grande" que B si podemos hacer una correspondencia de cada elemento de B a uno solo de A, pero no al revés.

Hasta aquí estamos totalmente de acuerdo.

2. Dices:

Esto de aquí funciona bien para todo tipo de conjuntos: finitos, infinitos numerables o infinitos no numerables..

Aquí, perdón por la falta de humildad, pero difiero de lo que afirma la teoría de conjuntos formalizada por G. Cantor y desearía que alguien señale mi error si estoy equivocado, yo creo que funciona bien para conjuntos finitos, pero no para conjuntos teóricamente infinitos.

Como decías: ,

"la teoría de conjuntos en principio habla de cuando un conjunto contiene a otro, o el cardinal de un conjunto es mayor que el de otro"...

El método utilizado por Cantor poniendo en biyección a los elementos de ambos conjuntos pretende comparar y diferenciar el tamaño de ambos conjuntos, pero ¿realmente lo logra?

Veamos:

Cantor escogió la combinación uno a uno poniendo en correspondencia biunívoca  a los elementos de esos conjuntos al hacer los emparejamientos, sacando a la vez un elemento de cada uno de ellos para ir formando  parejas hasta el infinito, no sabemos por qué razón eligió precisamente esa combinación  uno a uno (propia de una función biyectiva), pero al elegir esa o cualquier otra (no biyectiva vgr. 2 a 1...,1 a 2...,5 a 1 etc.), el resultado de la medición de dichos conjuntos infinitos se establece de antemano de acuerdo a la combinación elegida. Es decir: la combinación de los "emparejamientos" o "agrupamientos", (incluída la que Cantor escogió) nos permite llegar arbitrariamente a las conclusiones que nosotros queramos de antemano, aunque sean antagónicas, lo cual pone en evidencia la invalidez del método de Cantor para medir conjuntos infinitos.

Dicho método sirve para medir conjuntos finitos, pues el resultado obtenido será uno solo independientemente de la combinación seleccionada de antemano, pero no sirve para medir conjuntos infinitos ya que como dijimos el resultado variará de acuerdo a la combinación previamente fijada, pudiendo predefinir arbitrariamente el resultado mediante el sencillo trámite de variar la combinación.

Ahora bien, ¿por qué razón si los conjuntos son finitos cualquiera de las  combinaciones utilizadas nos permite medir su tamaño  llegando a un mismo resultado (el resultado correcto) y si son infinitos no llegamos a un mismo resultado sino a resultados distintos y aún opuestos?

Nada nos garantiza que la combinación uno a uno adoptada por Cantor para medir conjuntos infinitos es la correcta y no así las combinaciones dos a uno, cinco a uno o la inversa uno a cinco o cualquier otra.

¿Acaso no nos permiten todas ellas medir con precisión conjuntos finitos?

¿No es esta capacidad de medir puntualmente conjuntos finitos la que llevó a Cantor a pensar que la combinación uno a uno le podía permitir medir conjuntos infinitos?

3. Dices:

Si ahora quieres introducir la notación de "un conjunto es el doble de grande que otro", pues es una notación que sólo funciona en conjuntos finitos, por lo que no tiene sentido aplicarlo en conjuntos infinitos, más concretamente en y , ya que puede parecer que hay "el doble" de enteros que de naturales, cuando realmente tienen el mismo número de elementos ()...

.

Estoy de acuerdo  en que no tiene sentido decir que un conjunto infinito actual [IA] es el doble de grande que otro, pues no puedes incluir IAs en matemáticas sin que aparezcan paradojas o contradicciones,  pero es por esta razón por lo que no tiene sentido, no porque sean equivalentes según la teoría de conjuntos transfinitos, pues el método utilizado en dicha teoría (poner en correspondencia biunívoca o en biyección los elementos de ambos conjuntos) para determinar su relación de tamaños es erróneo como demostré. Si te basas en un método que predefine arbitrariamente el resultado de acuerdo a la combinación de emparejamientos o agrupamientos elegida de antemano llegarás a conclusiones arbitrarias y por lo tanto equivocadas. Utilizando ese método, la combinación uno a uno en conjuntos teoricamente infinitos (IAs) donde no se termina el suministro, te puede hacer creer por "lógica" que son equivalentes (cuando ésto es erróneo), pero si en lugar de escoger la combinación uno a uno escogieras la combinación dos a uno, utilizando el  mismo tipo de "lógica" llegarías probablemente a la conclusión de que uno de los conjuntos infinitos es el doble de grande que el otro (pues no se termina el suministro y de uno de los conjuntos siempre retiraste el doble de elementos que de el otro), el resultado es también equivocado y si escogieras la combinación inversa (uno a dos en lugar de dos a uno) llegarías a la conclusion errónea de que el conjunto que era doble ahora es la mitad del otro).
Si piensas que estoy mal, respóndeme esta pregunta Landertxu: ¿Por qué la combinación uno a uno es la correcta para comparar y/o diferenciar tamaños de conjuntos teóricamente infinitos y no cualquier otra combinación? ¿que garantiza que esa combincion utilizada por Cantor en su teoría de conjuntos transfinitos es válida para lograrlo y las demás no?

4. Dices:

Claro, esto no es completamente intuitivo. Puede parecer por ejemplo que los números naturales son el doble que los números pares, pero no. Realmente lo que haces es crear una correspondencia por el nombre del número: A cada número par le corresponde el número natural que se llama igual que él, es decir, a "veintiseis" le corresponde "veintiseis". Pero es una correspondencia como cualquier otra, y por tanto la falacia consiste en afirmar: "Como esta correspondencia no es biyectiva, no hay ninguna biyección entre ambos conjuntos, y por tanto su tamaño es diferente". En efecto esa correspondencia no es una biyección, pero existir existe.
Por ejemplo:

Esto es una biyección entre los naturales y los pares, que hace corresponder a cada natural su doble. Por tanto por definición podemos afirmar que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
Aunque parezca que los naturales siempre irán "retrasados" con respecto a los pares, la biyección está definida para todo par y para todo natural, que es lo que nos interesa..

.

No entiendo por qué razón si ponemos en biyección el conjunto de N.Naturales y el de N. Pares al "veintiseis", según dices, le corresponde el "veintiseis"
Entiendo que debe ser:
1-2    2-4    3-6    4-8   5-10   6-12 ... 13-26 ... 26-52

Y, por lo que ya comenté, creo que aceptar "por definición" que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos es erróneo. Lo que estamos analizando aquí Landertxu, es si el método utilizado por la teoría de conjuntos para diferenciar tamaños de conjuntos infinitos es correcto o incorrecto, y si éste último es el caso sus conclusiones son inválidas.


5. Dices:

Como la teoría de conjuntos no deja de ser una serie de axiomas/definiciones, en este caso se cumple. Además no hay ninguna contradicción (o al menos no se ha encontrado ninguna) en dicha teoría. Como mucho puede ir en contra de la intuición, pero como el infinito es algo que se escapa de la mente humana en muchos casos, creo que esta teoría es más que suficiente para tratar ese tipo de conjuntos teóricos.

Difiero Landertxu, considerando lo antes dicho definitivamente creo que hay contradicciones, pues no puedes pretender llegar a conclusiones válidas utilizando un método que predetermina arbitrariamente el resultado en el momento de escoger la combinación de correspondencias entre conjuntos teóricamente infinitos.

Saludos

[Landertxu]

El método utilizado por Cantor poniendo en biyección a los elementos de ambos conjuntos pretende comparar y diferenciar el tamaño de ambos conjuntos, pero ¿realmente lo logra?

Matemáticamente hablando lo logra. El cardinal es una relación de equivalencia (si #A=#B y #B=#C entonces #A=#C), y la relación "más grande que" es transitiva, que es lo que se espera de una formalización de tamaños.

Cantor escogió la combinación uno a uno poniendo en correspondencia biunívoca  a los elementos de esos conjuntos al hacer los emparejamientos, sacando a la vez un elemento de cada uno de ellos para ir formando  parejas hasta el infinito, no sabemos por qué razón eligió precisamente esa combinación  uno a uno (propia de una función biyectiva), pero al elegir esa o cualquier otra (no biyectiva vgr. 2 a 1...,1 a 2...,5 a 1 etc.), el resultado de la medición de dichos conjuntos infinitos se establece de antemano de acuerdo a la combinación elegida. Es decir: la combinación de los "emparejamientos" o "agrupamientos", (incluída la que Cantor escogió) nos permite llegar arbitrariamente a las conclusiones que nosotros queramos de antemano, aunque sean antagónicas, lo cual pone en evidencia la invalidez del método de Cantor para medir conjuntos infinitos.

No es cierto. Las conclusiones a las que podremos llegar son que dos conjuntos infinitos tengan el mismo cardinal, no las que queramos. De ninguna forma podemos conseguir una biyección entre el conjunto de números naturales y el de números reales. Aunque ambos sean infinitos no son infinitos iguales, tienen diferente número de elementos. Pero sí podemos afirmar que hay tantos naturales como racionales, lo cual a mí me parece que sí es cierto.

Dicho método sirve para medir conjuntos finitos, pues el resultado obtenido será uno solo independientemente de la combinación seleccionada de antemano, pero no sirve para medir conjuntos infinitos ya que como dijimos el resultado variará de acuerdo a la combinación previamente fijada, pudiendo predefinir arbitrariamente el resultado mediante el sencillo trámite de variar la combinación.

De nuevo, podemos "medir" tanto conjuntos finitos como infinitos, en el sentido de decidir si uno es más grande, igual, o más pequeño que otro. Que uno sea el doble de grande o el triple que otro es algo que no está definido para infinitos.

Ahora bien, ¿por qué razón si los conjuntos son finitos cualquiera de las  combinaciones utilizadas nos permite medir su tamaño  llegando a un mismo resultado (el resultado correcto) y si son infinitos no llegamos a un mismo resultado sino a resultados distintos y aún opuestos?

Llegamos siempre al mismo resultado. El cardinal de un conjunto finito es su número de elementos. El de un infinito que sea igual de grande es . El de un infinito que sea igual de grande que es , y así sucesivamente.

Nada nos garantiza que la combinación uno a uno adoptada por Cantor para medir conjuntos infinitos es la correcta y no así las combinaciones dos a uno, cinco a uno o la inversa uno a cinco o cualquier otra.

¿Acaso no nos permiten todas ellas medir con precisión conjuntos finitos?

No, si dices que dos conjuntos son iguales si hay una relación 5-1 entre ellos no cumplen las propiedades que esperamos de ellos (no es reflexiva, ni simétrica), mientras que con 1-1 se cumplen todas.

Estoy de acuerdo  en que no tiene sentido decir que un conjunto infinito actual [IA] es el doble de grande que otro, pues no puedes incluir IAs en matemáticas sin que aparezcan paradojas o contradicciones,  pero es por esta razón por lo que no tiene sentido, no porque sean equivalentes según la teoría de conjuntos transfinitos, pues el método utilizado en dicha teoría (poner en correspondencia biunívoca o en biyección los elementos de ambos conjuntos) para determinar su relación de tamaños es erróneo como demostré. Si te basas en un método que predefine arbitrariamente el resultado de acuerdo a la combinación de emparejamientos o agrupamientos elegida de antemano llegarás a conclusiones arbitrarias y por lo tanto equivocadas. Utilizando ese método, la combinación uno a uno en conjuntos teoricamente infinitos (IAs) donde no se termina el suministro, te puede hacer creer por "lógica" que son equivalentes (cuando ésto es erróneo), pero si en lugar de escoger la combinación uno a uno escogieras la combinación dos a uno, utilizando el  mismo tipo de "lógica" llegarías probablemente a la conclusión de que uno de los conjuntos infinitos es el doble de grande que el otro (pues no se termina el suministro y de uno de los conjuntos siempre retiraste el doble de elementos que de el otro), el resultado es también equivocado y si escogieras la combinación inversa (uno a dos en lugar de dos a uno) llegarías a la conclusion errónea de que el conjunto que era doble ahora es la mitad del otro).

Pero a ver, Cantor no habla en ningún momento de relaciones 2-1 para decir que un infinito es el doble de grande que otro, sólo habla de infinitos equivalentes, que se pueden demostrar por relación 1-1. Y de nuevo, el conjunto de naturales y el de pares son el mismo conjunto, cambiándole los nombres. Por eso la teoría de Cantor dice que son equivalentes, porque realmente lo son. Sólo que al 1 en vez de llamarlo 1 lo llamamos 2, al 15 en vez de llamarlo 15 lo llamamos 30... Pero son el mismo conjunto con nombres cambiados. Y al meter los infinitos en las matemáticas no hay ninguna contradicción, si acaso paradojas o supuestas paradojas (que son contradicciones de las matemáticas con la intuición, no de las matemáticas en sí, matemáticamente todo es coherente, y si no dame un contraejemplo). Infinito como tal no es un número, es un concepto, o varios. Puede significar un límite o un cardinal (que yo recuerde ahora). El infinito como cardinal está perfectamente definido: Un conjunto infinito es más grande que cualquier finito, y según el tipo de infinito los hay más grandes, más pequeños y equivalentes (todo con la relación 1-1).

Si piensas que estoy mal, respóndeme esta pregunta Landertxu: ¿Por qué la combinación uno a uno es la correcta para comparar y/o diferenciar tamaños de conjuntos teóricamente infinitos y no cualquier otra combinación? ¿que garantiza que esa combincion utilizada por Cantor en su teoría de conjuntos transfinitos es válida para lograrlo y las demás no?

La combinación 1-1 es la elegida porque tiene buenas propiedades con los números finitos (es reflexiva, simétrica y transitiva, por tanto es de equivalencia). Cualquier combinación n-m funcionaría con números infinitos, pero si elegimos la 1-1 funciona tanto con finitos como con infinitos.

No entiendo por qué razón si ponemos en biyección el conjunto de N.Naturales y el de N. Pares al "veintiseis", según dices, le corresponde el "veintiseis"
Entiendo que debe ser:
1-2    2-4    3-6    4-8   5-10   6-12 ... 13-26 ... 26-52

Sí, esa es la biyección entre ambos. La que tú haces para decir que ambos conjuntos no son equivalentes es la 1-1, 2-2... 50-50, que efectivamente no es una biyección, pero que una aplicación no sea una biyección no quiere decir que no existan biyecciones.

Y, por lo que ya comenté, creo que aceptar "por definición" que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos es erróneo. Lo que estamos analizando aquí Landertxu, es si el método utilizado por la teoría de conjuntos para diferenciar tamaños de conjuntos infinitos es correcto o incorrecto, y si éste último es el caso sus conclusiones son inválidas.

Por un lado es correcto, ya que matemáticamente no tiene contradicción ninguna. Sin embargo no deja de ser un modelo de la realidad, y debería tener cuantas menos paradojas mejor. Como los infinitos no existen a mí me parece un método que modela bastante bien la realidad, pero tú probablemente tengas otro, que realmente me gustaría conocer.

Difiero Landertxu, considerando lo antes dicho definitivamente creo que hay contradicciones, pues no puedes pretender llegar a conclusiones válidas utilizando un método que predetermina arbitrariamente el resultado en el momento de escoger la combinación de correspondencias entre conjuntos teóricamente infinitos.

¿Contradicciones o paradojas? Te repito, contradicciones ninguna. Y realmente paradojas tampoco. Lo que dice la definición es que dos conjuntos son equivalentes si existe una biyección entre ambos, no si todas las aplicaciones entre uno y otro son biyecciones.

[fegapa]

Hola Landertxu

1. Decía yo:
"El método utilizado por Cantor poniendo en biyección a los elementos de ambos conjuntos pretende comparar y diferenciar el tamaño de ambos conjuntos, pero ¿realmente lo logra?"

A lo cual respondes:

Matemáticamente hablando lo logra. El cardinal es una relación de equivalencia (si #A=#B y #B=#C entonces #A=#C), y la relación "más grande que" es transitiva, que es lo que se espera de una formalización de tamaños.

Difiero Landertxu, el cardinal no es en sí mismo una "relación de equivalencia" (aunque puesto en comparación con otro cardinal del mismo valor puede expresarla)... el cardinal muestra el número o cantidad de los elementos constitutivos de un conjunto, pero tomado en forma individual no manifiesta relación alguna, sino existencia y límite relativo al número de elementos . Vgr. El cardinal de un conjunto que tiene tres elementos es igual a tres (expresa existencia y límite, no relación). Para que pueda existir relación entre cardinales debemos tener al menos dos de ellos para poderlos comparar. Concuerdo en que existe una relación de equivalencia entre los conjuntos mencionados por tí, A,B y C. Ahora bien, para que una relación sobre un conjunto A sea transitiva debe darse que un elemento de A esté relacionado con otro, y ese otro a su vez se relacione con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Por lo tanto la relación "más grande que" es transitiva, si, por ejemplo,  el primer conjunto es mayor que el segundo, y el segundo es mayor que el tercero, entonces, el primero es mayor que el tercero.

2. Cantor creó el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar conjuntos finitos. Si los ponía en correspondencia biunívoca, mostró que tenían la misma cardinalidad en caso de haber una relación biyectiva entre sus elementos. Después utilizó esta correspondencia uno a uno para comparar y/o difirenciar tamaños de conjuntos teóricamente infinitos IAs, sin embargo decía yo que, al elegir esa combinación uno a uno o cualquier otra (no biyectiva vgr. 2 a 1...,1 a 2...,5 a 1 etc.), el resultado de la medición de dichos conjuntos infinitos se establece de antemano de acuerdo a la combinación elegida. Es decir: la combinación de los "emparejamientos" o "agrupamientos", (incluída la que Cantor escogió) nos permite llegar arbitrariamente a las conclusiones que nosotros queramos.
 
A lo cual respondes:

No es cierto. Las conclusiones a las que podremos llegar son que dos conjuntos infinitos tengan el mismo cardinal, no las que queramos. De ninguna forma podemos conseguir una biyección entre el conjunto de números naturales y el de números reales. Aunque ambos sean infinitos no son infinitos iguales, tienen diferente número de elementos. Pero sí podemos afirmar que hay tantos naturales como racionales, lo cual a mí me parece que sí es cierto.

Landertxu, si damos por hecho que la teoría de conjuntos transfinitos es correcta, tienes razón, es decir, si dicha teoría está bien, lo que afirmé no es cierto, pero aquí estamos analizando si la teoría misma es correcta o no lo es y por lo tanto lo que afirmo no puede ser medido o enjuiciado con el rasero de los enunciados y conclusiones de la teoría.
Dentro de la teoría, "las conclusiones permiten llegar únicamente a que dos conjuntos infinitos tengan el mismo cardinal, no las que queramos", pero si se demuestra que la teoría está mal, pues su método de medición es arbitrario y por lo tanto erróneo, sus conclusiones son inválidas y por ello lo que afirmo puede ser cierto, aunque la teoría afirme lo contrario.

Por lo tanto las bases para determinar si la teoría está bien o no lo está, no están dentro, sino fuera de ésta. Te pido que tomes en cuenta este punto pues si haces afirmaciones como:

"De ninguna forma podemos conseguir una biyección entre el conjunto de números naturales y el de números reales. Aunque ambos sean infinitos no son infinitos iguales, tienen diferente número de elementos. Pero sí podemos afirmar que hay tantos naturales como racionales".

Te contestaré:
Si la teoría es correcta tienes razón, si no lo es porque su método de medición de CIs es erróneo,  lo que estás diciendo no tiene sentido, ya que no puedes conocer la relación de tamaños entre conjuntos teóricamente infinitos estableciendo una biyección entre ellos (en esto consiste el método) y por lo tanto da lo mismo si puedes o no establecer dicha biyección entre el conjunto de números reales y el de naturales o entre éstos y los racionales. ¿me explico?

3. Dices:

De nuevo, podemos "medir" tanto conjuntos finitos como infinitos, en el sentido de decidir si uno es más grande, igual, o más pequeño que otro. Que uno sea el doble de grande o el triple que otro es algo que no está definido para infinitos..

Esto ésta dentro de la teoría, aplica la misma respuesta del punto anterior pues no puedes "medir" conjuntos teoricamente infinitos IAs, utilizando un método de medición que predetermina arbitrariamente el resultado.

Decía yo:
"Ahora bien, ¿por qué razón si los conjuntos son finitos cualquiera de las  combinaciones utilizadas nos permite medir su tamaño  llegando a un mismo resultado (el resultado correcto) y si son infinitos no llegamos a un mismo resultado sino a resultados distintos y aún opuestos?

4. A lo cual respondes:

Llegamos siempre al mismo resultado. El cardinal de un conjunto finito es su número de elementos. El de un infinito que sea igual de grande es . El de un infinito que sea igual de grande que es , y así sucesivamente..

Aplica misma respuesta del punto anterior. Con un método de medición arbitrario y por lo tanto incorrecto, llegas erróneamente al mismo resultado al medir CIs, aunque éste no refleje a la realidad tal cual es.

Decía yo:
"Nada nos garantiza que la combinación uno a uno adoptada por Cantor para medir conjuntos infinitos es la correcta y no así las combinaciones dos a uno, cinco a uno o la inversa uno a cinco o cualquier otra. ¿Acaso no nos permiten todas ellas medir con precisión conjuntos finitos?"

5. A lo cual respondes:

No, si dices que dos conjuntos son iguales si hay una relación 5-1 entre ellos no cumplen las propiedades que esperamos de ellos (no es reflexiva, ni simétrica), mientras que con 1-1 se cumplen todas...

En ningún lado estoy mencionando que los conjuntos son iguales si hay una relación 5-1. Lo que estoy diciendo es que "Nada nos garantiza que la combinación uno a uno adoptada por Cantor para medir conjuntos infinitos es la correcta y no así las combinaciones dos a uno, cinco a uno o la inversa uno a cinco o cualquier otra", por otro lado, la ausencia de dichas condiciones (reflexividad y simetría) no nos impiden medir con precisión el tamaño de conjuntos finitos utilizando la combinaciones que menciono.

Ejemplo: Si tenemos en un recipiente dos conjuntos finitos de bolas blancas y negras (50 de cada color) y las retiramos cada vez mediante la combinación 5 a 1 (5 blancas por 1 negra). En el décimo retiro se habrán terminado las blancas y nos quedarán en el recipiente 40 negras, con lo cual mediante un sencillo cálculo podremos llegar a conocer a la cantidad exacta de bolas de cada color que había en el recipiente. Y lo mismo sucede con cada una de las combinaciones mencionadas, todas y cada una de ellas, después de una serie variable de retiros, nos permitrán llegar a la misma respuesta. En el recipiente había inicialmente 50 bolas de cada color. Sin embargo si los conjuntos fueran infinitos no llegaríamos a la misma respuesta, sino a una diferente con cada combinación.

6. Dices:

Pero a ver, Cantor no habla en ningún momento de relaciones 2-1 para decir que un infinito es el doble de grande que otro, sólo habla de infinitos equivalentes, que se pueden demostrar por relación 1-1. Y de nuevo, el conjunto de naturales y el de pares son el mismo conjunto, cambiándole los nombres. Por eso la teoría de Cantor dice que son equivalentes, porque realmente lo son. Sólo que al 1 en vez de llamarlo 1 lo llamamos 2, al 15 en vez de llamarlo 15 lo llamamos 30... Pero son el mismo conjunto con nombres cambiados....

Una vez más, esto está dentro de una teoría que utiliza un método de medición incorrecto, y la teoría se basa en ese método para obtener conclusiones, no puedes conocer la relación de tamaños entre conjuntos teóricamente infinitos estableciendo una biyección entre ellos por lo que ya mencioné.

7. Dices:

Y al meter los infinitos en las matemáticas no hay ninguna contradicción, si acaso paradojas o supuestas paradojas (que son contradicciones de las matemáticas con la intuición, no de las matemáticas en sí, matemáticamente todo es coherente, y si no dame un contraejemplo). Infinito como tal no es un número, es un concepto, o varios. Puede significar un límite o un cardinal (que yo recuerde ahora). El infinito como cardinal está perfectamente definido: Un conjunto infinito es más grande que cualquier finito, y según el tipo de infinito los hay más grandes, más pequeños y equivalentes (todo con la relación 1-1).

Si los infinitos son potenciales (IPs) no se dan contradicciones, pero si son actuales (IAs), por supuesto que se dan contradicciones, la mayor parte de los mensajes de este hilo han abordado este punto, puedes hechar un vistazo a los mensajes para no repetir aquí lo que se ha tratado. Ve por ejemplo el M:35.

8. Decía yo:
"Si piensas que estoy mal, respóndeme esta pregunta Landertxu: ¿Por qué la combinación uno a uno es la correcta para comparar y/o diferenciar tamaños de conjuntos teóricamente infinitos y no cualquier otra combinación? ¿que garantiza que esa combincion utilizada por Cantor en su teoría de conjuntos transfinitos es válida para lograrlo y las demás no?"

A lo cual respondiste:

La combinación 1-1 es la elegida porque tiene buenas propiedades con los números finitos (es reflexiva, simétrica y transitiva, por tanto es de equivalencia). Cualquier combinación n-m funcionaría con números infinitos, pero si elegimos la 1-1 funciona tanto con finitos como con infinitos.

Creo que tú mismo le diste al clavo Landertxu dichas propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva) en la combinación 1 a 1 "son de equivalencia" y precisamente por ésto, si escoges dicha combinación para medir y comparar conjuntos teoricamente infinitos llegas arbitrariamente a la conclusión de que son equivalentes. Tienes, toda la razón, dichas propiedades son excelentes para llegar precisamente a esa conclusión. Si escogieras la combinación 2 a 1, ésta combinación tiene excelentes propiedades para llegar a la conclusión de que uno de los conjuntos teóricamente infinitos es del doble del tamaño que el otro y si escogieras la combinación contraria 1 a 2, tendría excelentes propiedades para llevarte ahora a la conclusión de que el conjunto que era doble ahora es la mitad que el otro. ¿Entiendes ahora por qué no funciona el método de Cantor para diferenciar tamaños de CIs?

9. Decía yo:
"Y, por lo que ya comenté, creo que aceptar "por definición" que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos es erróneo. Lo que estamos analizando aquí Landertxu, es si el método utilizado por la teoría de conjuntos para diferenciar tamaños de conjuntos infinitos es correcto o incorrecto, y si éste último es el caso sus conclusiones son inválidas."

Respondiste:

Por un lado es correcto, ya que matemáticamente no tiene contradicción ninguna. Sin embargo no deja de ser un modelo de la realidad, y debería tener cuantas menos paradojas mejor. Como los infinitos no existen a mí me parece un método que modela bastante bien la realidad, pero tú probablemente tengas otro, que realmente me gustaría conocer.

Me llama la atención este párrafo, pues por un lado piensas que el método en cuestión es un modelo de la realidad, por otro lado aceptas que no tiene contradicciones (y por lo tanto no las genera) y que es correcto como instrumento de comparación de tamaños de conjuntos infinitos, sin embargo afirmas que los infinitos no existen... ¿para que sirve entonces el método? ¿para comparar tamaños de entidades inexistentes?. Landertxu tal vez te estoy comprendiendo mal.
Yo no tengo un método, simplemente cuestiono el de Cantor porque creo que es incorrecto y estoy de acuerdo con Gauss en que los IAs no pueden incluirse en matemáticas, "el infinito es solamente una forma de hablar".

10. Dices: