Justificar límite usando la definición

[zalook]

Hola, necesito saber cómo justificar que el límite de la siguiente sucesión es 1 mediante el método de epsilon, que utiliza la definición de límite.



Además quisiera saber dónde estaría el error en la demostración cuando utilizamos un límite erróneo, por ejemplo 2 o 0 para la sucesión anterior.

Gracias.

[javiucm]

Lo primero de todo es entender bien la definición , conociendo y comprendiendo el concepto de límite y cada término que aparece en ella. Antes de darte la justificación, ¿entiendes realmente cada símbolo y que significa los cuantificadores universales y existenciales?

[zalook]

Gracias, y sí, entiendo los simbolos que aparecen en la definición de límite.

[iminas]

Hola

Bueno, pues si los entiendes no hay más que operar, para
El término general de la sucesión es   , si entiendes los símbolos como te ha dicho JaviUcm, pues a grosso modo, lo que te están diciendo es que demuestres que para todo entorno o bola abierta de , se puede obtener un número natural N , tal que para todos los n > N , los valores estarán siempre dentro de esa bola.

Luego, la demostración será encontrar tal relación , esto se hace acotando:

Yéndonos a la definición de límite de una sucesión, pues habrá que calcular N (en función de ) tal que para todo n>N se verifique
Y ahora a acotar:


Has podido acotar y encontrar una relación , así que está demostrado el límite (esto se traduce a que para cualquier entorno de , siempre tendrás un N a partir del cual todos los valores de la sucesión estarán dentro del entorno de )

En donde tienes que tener  en cuenta, que N tiene que ser natural, así que E es la parte entera.


Y para demostrar que esto es válido:



Y operando, se tiene que cumplir


Este método de comprobar los límites es muy "artístico", dependes de acotaciones, de ideas felices etc, mucha utilidad práctica no se le da, más que para demostrar teoremas y cosas muy abstractas.

[zalook]

Gracias, pero tengo unas preguntas:

*
¿Por qué pones <(1/n)?
*¿Por qué simplemente no despejas n?
*No entendí como llegaste a que

Gracias.

[Coquejj]

Gracias, pero tengo unas preguntas:

*
¿Por qué pones <(1/n)?
*¿Por qué simplemente no despejas n?
*No entendí como llegaste a que

Gracias.

Utiliza porque así puede despejar n sin preocuparse por distintos casos, mientras que si utilizase , al despejar n tendría que considerar que, cuando sea muy pequeño, el número es negativo.
Además, porque, al despejar n obtienes
, por lo que, N debe ser al menos tan grande como el siguiente natural, es decir, el que escribe iminas.

[zalook]

Gracias,

¿qué pasaría si (1/epsilon) no es un natural? ¿para eso está E, para transformar a (1/epsilon) en natural? ¿el "+1" en la determinación de N es para que sirve?.

[Coquejj]

Gracias,

¿qué pasaría si (1/epsilon) no es un natural? ¿para eso está E, para transformar a (1/epsilon) en natural? ¿el "+1" en la determinación de N es para que sirve?.

De hecho, zalook, la "mayor parte de las veces" (entiéndaseme bien)  no es natural. Efectivamente, tomar la parte entera sirve para asegurar que sea natural, y no tener problemas con N.
Por otro lado, fíjate que la determinación de N se lleva a cabo para garantizar que la sucesión está suficientemente cerca del límite (en concreto, más cerca que )a partir de N, por lo que sumarle 1 a ese N es sólo para asegurar que suceda esa acotación. Si no le sumas 1 a N, pues no es necesario que se dé la acotación.
Otra cosa, más conceptual: Cuando hallas N, no estás resolviendo una ecuación, y puedes obtener infinitos valores de N válidos. Por ejemplo, si vale el N que encontró iminas, también valdrá N+134.
Así que en las demostraciones de los límites (que no son más que un ejercicio técnico por el que todos hemos pasado) habitualmente lo que se hace es coger el menor N válido, por una cuestión de pura estética.

[zalook]

Gracias nuevamente. Entonces si epsilon=0.006 :

N= E (1/0.006) + 1

¿Cómo me doy cuenta de qué número entero hará a (1/0.006) un natural?