Blog CienciaEl Folio de Kurt Gödel
Un folio en blanco; solo una frase en él. La frase reza “Todo lo escrito en este folio es mentira”. Una pregunta ¿La frase dice verdad o mentira?
Todo aquel, que alguna vez, haya leído y entendido aquella famosa demostración, dentro del Teorema de Incompletud del impresionante Kurt Gödel (aquella que realiza con sus números de Gödel), y no haya sentido esa envidia cochina que corroe en el estómago, e incita al lagrimeo, es porque no tiene sangre en el cuerpo, es porque no tiene sentimientos.
Dice, a fecha de hoy, la Wikipedia, que el teorema ha sido mal interpretado en muchas ocasiones; este comentario está muy de moda desde hace un tiempo, y no sé si tendrá algo que ver ese pequeñísimo capítulo (demasiado pequeño para la envergadura real) del laborioso y fantástico trabajo del platónico y “platonista” Sir Roger Penrose, “Camino a la realidad”, en el que trata este teorema y sus consecuencias.
Nos advierte la Wikipedia, con razón, que el teorema de Gödel no nos está diciendo que los sistemas axiomáticos son incompletos.
Eso es cierto, pero el verdadero problema, por mucho que Penrose le de la vuelta, y por mucho que nos quiera convencer de que Gödel nos dice que siempre podremos completar nuestros conjuntos axiomáticos, es que “Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.” Es decir, que nunca sabremos si la frase de la página en blanco es verdadera o falsa. Siempre necesitaremos completar los conjuntos, con axiomas que no se pueden demostrar dentro de éste.
Es el machacante infinito enmendando la plana; el infinito, el infinito que no abarcamos por mucho que lo cojamos en acto; los infinitos puntos en la palma de la mano que desbordan por todos los lados, con esas incongruentes series a las que solo nos aproximan los números mágicos…perdón, complejos.
El inteligentísimo Douglas Hofstadter y su ya mítico Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, nos enseñó en los ochenta que hay partes del conocimiento al que nunca accederemos. Nos enseñó que hay partes inviolables en nuestro cerebro, y niveles de mente que sí podemos revisar. Nos muestra, que las máquinas que manejamos, también tienen su parte inviolable y su mente. Nos demuestra, que vemos la figura, pero no el fondo, como la de por siempre escurridiza función que devuelve los números primos, como aquel axioma del TNT tan trivial, pero tan indemostrable dentro del sistema…como el infinito…como la recursividad…como ese eterno bucle que somos… como ese círculo sin salida que nos atenaza cuando revisamos nuestro libre albedrío…como Aquiles y la Tortuga, que desconocían que no eran más que ficción…, como las matemáticas que poco a poco parecen volverse subjetivas…
Roger Penrose dice no negar que habrán máquinas inteligentes en el futuro, pero nos advierte de la mecánica cuántica, y que la mente no es computable. El prólogo de su nueva mente del emperador sigue negando aquello tan obvio que ya vio en su día Alan Turing, y es que si vuela como un pato, anda como un pato, tiene el aspecto de un pato, y se comporta como tal, por mucho que le demos vueltas, es un pato.
El Folio de Kurt Gödel dijo
1 de Junio del 2008 a las 18:53
[…] El Folio de Kurt Gödele-ciencia.com/blog/reflexion/el-folio-de-kurt-godel/ por Yoghurtu-Nghe hace pocos segundos […]
FXavier dijo
2 de Junio del 2008 a las 09:00
“Todo lo escrito en este folio es mentira” es una variante de A = no A, lo cual ni siquiera es una paradoja, es una tontería, aunque haya quien le dé muchas vueltas.
Pedro Mascarós dijo
2 de Junio del 2008 a las 11:13
Me temo que no es así, Fxavier.
Esta sentencia no tiene nada que ver con A=no A (lo cual, sí es una paradoja); pues esta sentencia NO es una paradoja. (F(A) = A es falso / A=F(A) )
Esta sentencia es una metasencia. Con una “tontería” muy similar a ésta (un hombre en una determinada fecha, solo pronuncia una frase “todo lo que diga hoy es mentira”), dilucidó Gödel el teorema más importante del siglo pasado.
La imposibilidad de solucionar las sentencias metamatemáticas, es la base de que no sea posible la demostración de todos los axiomas de una estructura lo suficientemente fuerte dentro de esta misma.
Epiménides el cretense dijo
6 de Junio del 2008 a las 20:06
Hay infinitas variantes de esta paradoja. Se la llama en filosofía “la paradoja del mentiroso”, y ya Epiménides la pronunció cuando dijo “Todos los cretenses mienten”. ¿Decía la verdad o mentía? El problema surge al establecer como válidos solo dos valores de verdad, la Verdad y lo Falso. ¿Las proposiciones sólo pueden ser verdaderas o falsas o hay algún nivel intermedio?
Las lógicas modernas (Lukasiewitz) hablan de esta posibilidad de niveles intermedios entre la verdad y la falsedad. Muy interesante todo esto.
Pedro Mascarós Gil dijo
10 de Junio del 2008 a las 16:40
Las soluciones basadas en otorgar niveles entre verdadero y falso, no son soluciones. Son una forma de enmascarar el problema, el cual, es el mismo.
Yo puedo establecer una puntuación del 1 al 10, por ejemplo, para otorgar cierta validez a las sentencias. Puedo decir que 1 es falso, y 10 verdadero, siendo las puntuaciones intermedias estos valores aproximados entre lo verdadero y lo falso. Incluso hay formas ingeniosas, ya inventadas, mediante sencillas reglas matemáticas, de otorgar esta puntuación, de forma que las metasentencias obtienen un 0.5. Pero NO se ha solucionado el problema, pues de nuevo hemos construído un sistema formal, y de nuevo, este sistema formal, no puede demostrarse con sus propios axiomas; en otras palabras ¡¡NO podemos evaluar este sistema mediante nuestro nuevo sistema!!! A la fuerza, tenemos que darle al nuevo sistema un 10, de lo contrario no es un buen sistema de evaluación (si fuera un 0.5, no podemos fiarnos a la hora de valorar las cosas), y por lo tanto, seguimos supeditados a lo verdadero o falso
Otra cosa muy distinta, es el uso de valores intermedios para la IA (Lukasiewitz); eso es harina de otro costal