Las deliciosas lecciones del profesor N.J. Wildberger

Hablar de N. J.  Wildberger, es hablar, inevitablemente,  de la controversia, que siempre genera, el realismo y constructivismo severo, en las matemáticas. Pero si uno no se queda enganchado a su serie MathHistory, o no se le arremolinan sentimientos encontrados en su MathFoundations , entonces, es porque decididamente o ha perdido ya toda la fascinación por las matemáticas, o se ha quedado sin sangre en el cuerpo.

Muy seguro que discreparemos de su forma de ver las cosas (de hecho, ahora le daremos un poco de caña), pero las lecciones de sus videos son un ejemplo de preparación y paciencia, saber explicar,  amor a las matemáticas, y sobre todo un vasto conocimiento de todas las ramas.  Es el minuto 4:10 de su primer video de MathFoundations, ha comenzado con “nada”, una hoja en blanco, y entonces introduce el número 1; se gira hacia el espectador y respira con cierta notoria emoción; no es difícil darse cuenta que nuestro profesor asociado de la universidad  de “New South Wales” en Sydney (UNSW), tiene la piel de gallina, pues se toma las matemáticas muy en serio, tal vez demasiado…

Es especialmente interesante su serie MathFoundations, no solo principalmente por el repaso a las nociones más elementales desde un punto de vista profundo, o por su sabiduría respecto a los números racionales, si no por toda su sincera crítica hacia aquellas partes de las matemáticas que no han sido rigurosamente construidas, y aunque Wildberger parece olvidar que, como nos enseña Roger Penrose, los números irracionales o las series infinitas, aunque no existan en la naturaleza, son elementos en los que apoyarnos en pos de una solución racional, también es totalmente cierto que están más basados en aspectos intuitivos y filosóficos, que en rigurosas demostraciones perfectamente construidas desde una base simple. Y también es cierto, que la matemática moderna, en su aritmética, no concibe estos elementos ya solamente como meros medios, si no como soluciones reales, ¿correcto?, ¿incorrecto?

Pensemos por ejemplo en el concepto de ángulo (imaginemos el ángulo de la esquina interior de un triángulo). Actualmente el ángulo se define como el cociente entre la longitud del arco y el radio. Aparentemente muy claro, si no fuera porque, tal como nos enseña Wildberger, la longitud del arco no es una cuestión sencilla bien definida; nótese que necesitamos el valor Pi para tratar esta longitud, un número nada más y nada menos que trascendente, del que jamás conoceremos todos los decimales, y del que siquiera sabemos con total exactitud donde se encuentra en la recta real…es decir, un número del que arrastramos su símbolo como alma en pena ¿podemos saber lo que mide exactamente un arco si no sabemos (ni sabremos jamás) el valor de Pi?, obviamente, exactamente, no, y por lo tanto, tampoco un ángulo, en conclusión, el concepto de ángulo no es, desde un punto de vista realista, un objeto matemático bien construido. Utilizamos el antiguo sistema babilónico de los grados, y nos conformamos con las aproximaciones del transportador de ángulos, o utilizamos los radianes, y vamos por ahí llevando Pi a rastras para obtener soluciones aproximadas… ¿para qué hace falta más? Pero nuestro buen profesor quiere más, las matemáticas bien construidas deberían de dar soluciones exactas. La trigonometría racional del profesor Wildberger (Rational trigonometry), aunque es capaz de resolver muchos problemas de forma exacta al omitir el concepto de ángulo y redefinir las distancias, no es tan práctica ni tan manejable como sería deseable; sustituye la definición de ángulo por el cuadrado del seno y redefine las distancias como sus cuadrados, quedando un resultado no del todo práctico; y es que nadie a dicho que sea fácil el camino de los números racionales, siempre subvalorados, pero de una riqueza impresionante.

Es extraordinariamente revelador el video número 43(MF43) donde  el profesor nos expone las matemáticas como un sistema abierto, y nos muestra como la definición actual de función (como relación entre dos conjuntos, mediante reglas o procedimientos) no debería ser un concepto matemático, si no tal como ocurre con el concepto de número, debería ser metamatemático, y así, como un sistema que va creciendo, debería obviarse su definición general (la cual es ambigua, en cuanto no existe una definición clara para “regla” o “procedimiento”) para simplemente ir adquiriendo las distintas terminologías “funciones constantes”, “funciones lineales”…etc.

Podría chocar el hecho de que el profesor Wildberger tome las matemáticas como un sistema abierto, pero en cambio no acepte mucho de sus términos u objetos (¿por qué no toma los conceptos de regla o procedimiento como elementos metafísicos abiertos y respeta la definición original de función?), pero nótese que en realidad, lo que no acepta es aquello que no ha sido construido en este edificio abierto partiendo de las bases, y no como el dice, a partir de castillos en el aire (por ejemplo, no está nada de acuerdo con  la definición de reales a partir de series de Cauchy o cortaduras de Dedekind).

De hecho, este punto de vista presenta un sistema abierto como un infinito en potencia, y no uno cerrado como un infinito en acto, totalmente coherente con una matemática constructiva, la cual prefiere mantener siempre el sentido del infinito clásico, porque si a usted, querido lector, le chocó en la universidad aquella demostración de Cantor  respecto a la no contabilidad de los números reales, en el que se trata el conjunto de números naturales y el de los reales como conjuntos infinitos en acto, pero se calló y agachó las orejas ante la mirada seria del profesor, la mirada inquisitiva de la foto de Cantor con su bigote, y esos tipos con gafas del departamento de teóricas que  parecían tan listos, sepa que no está solo; y si ahora ve el infinito en acto como la cosa más normal del mundo a pesar de esa primera impresión, sepa que es porque no se ha dado de bruces con el profesor Wildberger, quien  le devolverá, con un par de sacudidas. al sentido común que tenía antaño.

A partir del video 87 (MF87)  el profesor empieza a repartir cera, y especialmente interesante tanto su análisis sobre la decadencia del rigor en matemáticas que se amplia en el siguiente, como el repaso a todos aquellos elementos de las matemáticas que a su entender, no tiene una definición rigurosa y exenta de problemas, como son los números reales, los límites, el continuo…etc. En el momento de escribir estas líneas, va por el video 99, y la cosa promete.

Aunque hemos hecho un repaso a la parte controvertida, les aseguro que vale la pena la serie en general, de hecho cualquiera de las del profesor.

Particularmente, dudo que los números racionales sean suficientes, y también está clarísimo que este punto de vista tan estricto no es el adecuado para el desarrollo de la matemática aplicada, si bien, para la pura es un contrapeso importante y necesario. No dudo que se equivoca cuando dice que quiere eliminar la parte filosófica de las matemáticas (eso es como decir que se quiere eliminar la vaca de la leche) o  que ésta se ha de basar en evidencias (ejemplos), olvidando que es la ciencia la que debe atenerse a ellas, pero las matemáticas no son  ciencia, es su lenguaje filosófico. Así y todo, el profesor Wildberger es necesario en estos tiempos donde triunfa la especulación sobre la especulación y donde el principio de autoridad, inmersos en tanta información, está a la orden del día. Hace falta gente que diga, “…espera un momento, defíneme eso…”

“I’m Norman Wildberger… Thakns for listening”