La serie armónica y sus peculiaridades


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Muchos habréis oído hablar de la serie armónica, es una series mas usadas a la hora de hablar de tendencia a 0. Para aquellos que no la conozcáis, la serie armónica es {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} se resume como 1/n donde n un número natural.

Es fácil ver que esta serie tiende a 0 cuando n toma valores muy grandes, aunque el 0 no pertenece a la serie. Pero ¿Qué ocurre si sumamos todos los términos de esta serie? En principio podemos pensar que va a sumar infinito, pero os animo a tomar una calculadora y comenzar a sumar los términos...

1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7} ...

No tardamos en darnos cuenta que llega un momento en el que añadimos términos y la suma parece no variar mucho. Veamos cuanto suman algunos términos:

Si sumamos hasta 1/5, nos resulta: 2.283

Hasta 1/10, 2.929 aprox.

Hasta 1/100 tan solo suma 5.187 aprox.

Y hasta 1/200000 suma 12.783 aprox.

¿Es posible que esta suma tenga un límite finito? Pues aunque lo parezca, no lo tiene. Para ver que la suma de esta serie es infinita basta con reagrupar los términos en grupos cuyo valor permanezca constante y ver que este valor se repite indefinidamente. Veamos:

En la serie todo término es menor que los que le anteceden, esto se ve con claridad, entonces podemos asegurar lo siguiente:

1 \geq\frac{1}{2}  ; \frac{1}{2}\geq\frac{1}{2};  (\frac{1}{3}+ \frac{1}{4})\geq 2*\frac{1}{4}=\frac{1}{2}; (\frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+\frac{1}{8})\geq 4*\frac{1}{8}=\frac{1}{2};( \frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})\geq 8*\frac{1}{16}=\frac{1}{2}...

Como vemos reagrupando la serie, transformamos la serie armónica en:

\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}... Así podemos ver que esta suma si es infinito.

De esta forma podemos saber cuantos términos se necesitan para sumar ciertos números, es entonces cuando esta serie nos sorprende. Véase la forma en que son agrupados los términos, para obtener el primer 1/2 agrupamos un término, para el segundo, necesitamos otro término. Para el tercero ya necesitamos 2 términos (1/3 y 1/4). Para el cuarto necesitamos 4 términos, para el quinto 8 término, para el sexto 16... Obtener la fórmula que relaciona el número de términos reagrupados con el número de 1/2 que obtenemos es sencillo, exceptuando el 1, obtenemos que: para el primer 1/2 necesitamos 2^0 términos, para el segundo necesitamos 2^1, para el tercero 2^2 etc... por tanto para el n-ésimo término necesitaremos 2^n^-^1 al cual añadiríamos 2 términos para incluir al 1. Por tanto n< 2^(^2^N^-^3^) donde n es el número de términos necesarios para sumar N.

Esta fórmula es bastante inexacta, pues está claro que la sería armónica suma mas que \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}... pero nos da una idea de los términos necesarios para sumar ciertos valores, por ejemplo, para sumar 100 necesitaríamos algo menos de 2^1^9^7 términos, lo cual es 2e59 términos, para los que estén familiarizados con la notación científica. Para sumar 1000 necesitamos 2^1^9^9^7 términos, una cantidad excesivamente grande. De hecho los ordenadores actuales tardarían miles e incluso millones de años en sumar 1000 usando la serie armónica.

Y ¿qué ocurre si eliminamos todos los términos que contengan un 0? esto es, {1/10, 1/20, ... , 1/100, 1/101, ...} Pues para sorpresa, la serie suma un número finito, de hecho suma un número menor de 90. Esto es posible porque en los grandes números se eliminan prácticamente la mayoría de términos.

Si alternamos la serie armónica del siguiente modo:

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-... podemos ver que suma un número entre 0 y 1, de hecho suma el logaritmo neperiano de 2:

serie armonica alternada

Pero de nuevo, nos llevamos otra sorpresa, simplemente ordenando la suma de los términos seremos capaces de hacer que la serie armónica sume el número que queramos e incluso infinito, esto es muy fácil de ver, lo que hay que hacer es reagrupar los términos positivos hasta que sumen, por ejemplo, 1.5 entonces metemos el término negativo -1/2, nos resulta en total 1, a continuación seguimos sumando términos positivos hasta alcanzar 2.25 en este momento introducimos el término negativo 1/4 y nos resulta 2. De este modo introduciremos todos los términos de la sucesión armónica, aunque al principio parezca que hay mas términos positivos, al acabar estarán todos sumados, y su suma sera infinito pues la serie se reduce a 1 + 1 + 1 + 1....

Estos son algunos de los muchas peculiaridades de la serie armónica, cosas que atacan a la intuición y nunca dejarán de sorprender. Siempre que juguemos con el infinito, nos encontraremos sorprendentes curiosidades como estas.

NOTA: Este artículo es propiedad original del autor citado, aunque ha podido ser publicado anteriormente en otros medios, en cuyo caso aparecen descritos al final del mismo. En caso contrario o en notas de prensa el autor aparecerá como "Noticias de Internet"

2 Comentarios hasta el momento »

  1. La serie armónica y sus peculiaridades dijo

    23 de Diciembre del 2012 a las 20:16

    [...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos menéalo   La serie armónica y sus peculiaridades e-ciencia.com/blog/curiosidades/la-serie-armonica-y-sus-p...  por equisdx el 18:16 [...]

  2. Bryan Lopez dijo

    22 de Marzo del 2013 a las 00:47

    Hey muchas gracias por la informacion esta muy concreta sobre el tema de La serie armónica y sus peculiaridades aunque las formulas sin su especificacion no estan buena

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